1、椭圆的定义强化训练（学生版）1、(2022西安市长安区质量检测)已知M(2，0)，P是圆N：x24xy2320上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为()A.1B.1C.1 D.12、(2022亳州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|8，则该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.13、(2022湖南省衡阳八中月考)对于曲线C：1，下面四个说法正确的是()A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线C是焦点在x轴
2、上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件4、(2021泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线5、(2022林芝市第二高级中学月考)已知F1，F2是椭圆C：y21的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则PF1F2的周长是()A42B42C8 D106、如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A. B.C. D.7、(教材改编)化简方程10的结果是()A.1B.1C.1 D.18、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点
3、，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D圆9、已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.110、“(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A0abB1abC2abD1ba11、如图，P是椭圆1上的一点，F是椭圆的左焦点且，|2，则|PF|()A2BC3D412、已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆
4、C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.113、古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为()A1B1C1D114、(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13B12 C9D615、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形
5、PF1QF2的面积为_16、如图，ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_17、已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_18、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_19、(教材改编)椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则F1AB的周长为_20_，AF1F2的周长为_16_20、已知F1、F2分别是椭圆5x29y245的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则
6、|PF1|PF2|的最大值为_9_，若A(1,1)，则|PA|PF1|的取值范围为_6，6_.21、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260.若PF1F2的面积为3，则b_3_.22、(2021大庆模拟)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为_8_.23、(2019课标，15)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)_.24、(2021河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|
7、的最小值为_5_.25、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程26、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，|F1F2|4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足2.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形ABF2F1的面积椭圆的定义强化训练（解析版）1、(2022西安市长安区质量检测)已知M(2，0)，P是圆N：x24xy2320上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为()A.1B.1
8、C.1 D.1解析：由题意可得圆心N为，半径为6.因为线段MP的垂直平分线交NP于点Q，所以|QP|QM|，所以|QM|QN|QP|QN|PN|6|MN|4，所以点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，所以a3，c2，b，所以其轨迹方程为1.2、(2022亳州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|8，则该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.设|MF1|m，|MF2|n，因为MF1MF2，|MF1|MF2|8，|F1F2|2，所以m2n220，mn8，所以(mn)236，因为mn0，所以mn2a6，所以a3.因为c，
9、所以b2.所以椭圆的方程是1.3、(2022湖南省衡阳八中月考)对于曲线C：1，下面四个说法正确的是()A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件解析：选D.当1k4且k2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k2.5时，4kk1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5k4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的必要不充分条件，所以C错误；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1k2.5，所以D正确故选D.4、(20
10、21泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线解析：如图所示，由题知|PF1|PF2|2a，设椭圆方程：1(其中ab0)连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆5、(2022林芝市第二高级中学月考)已知F1，F2是椭圆C：y21的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则PF1F2的周长是()A42B42C8 D10解析：选A.由椭圆C：y21知，a2，b1，c，所以2，由椭圆的定义知，2a4，则PF1F2的周长为42.6、如图，椭圆1
11、(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A. B.C. D.解析：选D.由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60，故选D.7、(教材改编)化简方程10的结果是()A.1B.1C.1 D.1解析：选C.由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c4，a5，所以b2a2c29，故
12、化简结果为1.8、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D圆解析：选A.连接QA(图略)由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|8|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，所以a8，c4，b4，故所求动圆圆心M的轨迹方程为1.10、“(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A0abB1abC2abD1ba解析：C若(loga2)x2(
13、logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆，则需即所以1ab，所以“(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2ab，故选C11、如图，P是椭圆1上的一点，F是椭圆的左焦点且，|2，则|PF|()A2BC3D4解析：A由1可得a3因为，所以点Q是线段PF的中点，设椭圆的右焦点为F，则O是FF的中点，所以|PF|2|OQ|4，由椭圆的定义可知：|PF|PF|2a6，所以|PF|2，故选A12、已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1
14、解析设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，所以a8，c4，b4，故所求动圆圆心M的轨迹方程为1.13、古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为()A1B1C1D1解析焦点F1，F2在y轴上，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得2a2b4ab，Sab8，即ab8，F2AB的周长为32，4a32，则a8，b，故椭
15、圆方程为1故选B14、(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13B12 C9D6解析：选C.由椭圆C：1，得|MF1|MF2|236，则|MF1|MF2|329，当且仅当|MF1|MF2|3时等号成立故选C.15、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_解析：根据椭圆的对称性及|PQ|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形设|PF1|m，则|PF2|2a|PF1|8m
16、，则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48，得m(8m)8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|m(8m)8.16、如图，ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_解析：因为a23，所以a.ABC的周长为|AC|AB|BC|AC|CF2|AB|BF2|2a2a4a4.17、已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|PF1|6.所以|PA|PF|
17、PA|PF1|6.利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)所以|PA|PF|6，|PA|PF|6.故|PA|PF|的最大值为6，最小值为6.18、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.19、(教材改编)椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则F1AB的周长为_20_，AF1F2的周长为_16_20、已知F1、F2分别是椭圆5x29
18、y245的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|PF2|的最大值为_9_，若A(1,1)，则|PA|PF1|的取值范围为_6，6_.解析：由椭圆的方程1知，a3，c2，|PF1|PF2|2a6，|PF1|PF2|29，当且仅当|PF1|PF2|3时取等号，|PF1|PF2|的最大值为9.|PA|PF1|PA|PF2|6.由椭圆方程1知c2，F2(2,0)，|AF2|.利用|AF2|PA|PF2|AF2|(当P、A、F1共线时等号成立)|PA|PF1|6，|PA|PF1|6.故|PA|PF1|的最大值为6，最小值为6.21、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，
19、且F1PF260.若PF1F2的面积为3，则b_3_.解析：|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，又因为SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.故填3.22、(2021大庆模拟)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为_8_.解析：直线yk(x)过定点N(，0)而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428.2
20、3、(2019课标，15)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)_.解析：因为F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，MF1F2是等腰三角形，知|F1M|F1F2|，又由椭圆方程1，知|F1F2|8，|F1M|F2M|2612，所以|F1M|F1F2|8，所以|F2M|4.设M(x0，y0) (x00，y00)，则解得x03，y0，即M(3，)24、(2021河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_5_.解析：由题意可知F2(
21、3,0)，由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a(当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号)，又|MF2|5,2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.25、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(
22、x，y)，由2，得解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.26、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，|F1F2|4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足2.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形ABF2F1的面积解：(1)由题意知2a6，2c4，所以a3，c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(2，0)，F2(2，0)，所以(2x1，y1)，(2x2，y2)，由2，得x122(x22)，y12y2.延长AB交x轴于H，因为2，所以AF1BF2，且|AF1|2|BF2|.所以线段BF2为AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，所以H(6，0)设直线AB的方程为xmy6，代入椭圆方程，得5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350.所以y1y23y2，y1y22y，消去y2，得m2，结合题意知m.S四边形ABF2F1SAF1HSBF2H|F1H|y1|F2H|y24y12y28y22y26y2.
