1、第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.4圆与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.设r0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切B.相交C.内切或内含D.外切或外离答案D解析两圆的圆心距为d=(1-0)2+(-3-0)2=10,两圆的半径之和为r+4,因为10r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1
2、)2+(y+1)2=9,圆心C2(-1,-1),半径为3,圆心距|C1C2|=2,|4-3|2|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.42C.8D.82答案C解析两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,a+b=10,ab=17.(a-b)
3、2=(a+b)2-4ab=100-417=32,|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=322=8.4.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是()A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=0答案A解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+(x2+y2-2)=0,再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+(4+4-2)=0,求得=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.5.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2
4、+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是()A.r5+1C.|r-5|1D.|r-5|3+22解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2和(0,b),1.因为两圆外离,所以a2+b22+1,即a2+b23+22.8.若O1:x2+y2=5与O2:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.答案4解析由题知O1(0,0),O2(m,0),半径分别为5,25,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和,即5m0,xR),若(m+1)2+(n+1)2=2,则f(n)f(m)的取值范围是()A.-3,2B.3,2
5、+3C.2-3,3D.2-3,2+3答案D解析f(n)f(m)=bn-b2-14bm-b2-14=n-b+14bm-b+14b,可以看作点(m,n)与点b+14b,b+14b连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)2+(y+1)2=2上,点b+14b,b+14b在直线y=x(x1)上,结合图形分析可得,当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2的切线,此时两条切线的斜率分别是f(n)f(m)的最大值和最小值.两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为6,两条切线的倾斜角分别为12,512,故所求直线的斜率的范围为2-3,2+3.13.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2
6、=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0),若圆上存在点P,使得APB=90,则m的取值范围是.答案4,6解析设点P的坐标为(x,y),APB=90,且坐标原点O为AB的中点,|OP|=12|AB|=m,则点P的轨迹方程为x2+y2=m2,由题意可知,圆x2+y2=m2与圆C有公共点,且圆心C(3,4),则|m-1|OC|m+1,即|m-1|5m+1.m0,解得4m6.因此,实数m的取值范围是4,6.14.已知点P(t,t-1),tR,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为.答案4解析P(t,t-1),P点在直线y
7、=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E,且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E在圆O1上,|PE|=|PE|,设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,|PE|PO1|-|EO1|,|PF|PO2|+|FO2|,|PF|-|PE|=|PF|-|PE|(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|EO1|)=|PO2|-|PO1|+2|O1O2|+2=4,当P,E,F,O1,O2五点共线,E在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(
8、x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是.答案x-1152+y+852=1解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知a-14-1=25,所以a=115,b-0-4-0=25,所以b=-85,所以所求圆的方程为x-1152+y+852=1.16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐
9、标为(0,0),半径为5,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=|2k|1+k2=1,整理得3k2=1,解得k=33,所以直线方程为y=33x.若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.综上所述,直线方程为y=33x.(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以弦|AB|=2(5)2-22=2.17.如图所示,圆O1与圆O
10、2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程.解如图所示,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).设动点P(x,y).由题意得|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x+2)2+y2-1.同理,可得|PN|2=(x-2)2+y2-1.因为|PM|=2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2.所以(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即x2+y2-12x+3=0.所以动点P的轨迹方程是x2+y2-
11、12x+3=0.学科素养拔高练18.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是()A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆答案D解析由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,f(x1,y1)=0,f(x2,y2)0,由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)0,它表示过P2且与圆C1圆心相
12、同的圆.19.(多选)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题中是真命题的有()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点答案BD解析根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;考虑两圆的位置关系,圆Ck:圆心(k-1,3k),半径为r=2k2,圆Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1),即(k,3k+3),半径为R=2(k+1)2,两圆的圆心距d=(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=10,两
13、圆的半径之差R-r=2(k+1)2-2k2=22k+2,任取k=1或2时,(R-rd),Ck含于Ck+1之中,选项A错误;若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(kN*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.20.已知圆O1:x2+y2=25,点P在圆O2:x2+y2=r2(0r5)上,过点P作圆O2的切线交圆O1于点M,N两点,且r,|OM|,|MN|成等差数列.(1)求r;(2)若点P的坐标为-165,125,与直线MN平行的直线l与圆O
14、2交于A,B两点,则使AOB的面积为43的直线l有几条?并说明理由.解(1)显然圆O1和圆O2是圆心在原点的同心圆.连接OP,则OPMN,|OM|=5,|OP|=r,在直角三角形MOP中,|MP|=52-r2,所以|MN|=252-r2.由r,|OM|,|MN|成等差数列,得2|OM|=r+|MN|,即25=r+225-r2,解得r=4.(2)满足题意的直线l有4条.理由如下,因为点P的坐标为-165,125,所以kOP=-34,所以直线l的斜率k=43,设直线l的方程为y=43x+b,即4x-3y+3b=0.设圆心到该直线的距离为d,则d=|3b|5,则|AB|=242-d2,所以SAOB=12|AB|d=42-d2d=43,整理得d4-16d2+48=0,(d2-4)(d2-12)=0,解得d=2或d=23,因为d=|3b|5,从而对应的b有4个解,b=103或b=1033,检验知均符合题意,故使AOB的面积为43的直线l有4条.
