1、第二节直线与椭圆的位置关系(一) 选题明细表知识点、方法题号直线与椭圆位置关系的判定1焦点、中点弦问题5,11弦长问题4对称问题6,10综合问题2,3,7,8,9,12,13,14一、选择题1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:因为y=kx-k+1=k(x-1)+1,所以y-1=k(x-1),即直线恒过点(1,1),因为+=1 (B)+1 (D)+1解析:由题意可得椭圆的半焦距c=1,且由l1l2可知点P(x0,y0)在以线段F1,F2为直径的圆上,则+=1.所以+=,故A不正确.B,C结论正确,因为F1(-1,0),F2(1,0
2、),所以|x0|1,|y0|1,所以+b0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为(A)(A) (B) (C) (D)解析:因为x-2y+2=0过点(-2,0),(0,1),经过椭圆+=1(ab0)的一个焦点和一个顶点,所以c=2,b=1,a2=b2+c2=5,所以e=.故选A.4.直线y=kx+1,当k变化时,直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是(C)(A)4 (B)2 (C) (D)不能确定解析:直线y=kx+1,恒过P(0,1),又P(0,1)是椭圆的上顶点,因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cos ,sin ),所以|PQ|2=(2co
3、s )2+(sin -1)2=-3sin2-2sin +5,所以当sin =-时,|PQ=,所以|PQ|max=,故选C.5.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以+=0,所以=-.因为=-,x1+x2=2,y1+y2=2,所以-=-,所以a2=2b2.又因为b2=a2-c2,所以a2=2(a2-c2),所以a2=2c2,所以=.故选B.6.椭圆+y2=1上存在两点A,B关于直线l:4x-2y-3=0对称,若O为坐标原点,则|+|等于(
4、C)(A)1(B)(C)(D)解析:因为线段AB被直线l:4x-2y-3=0垂直平分,所以kABkl=-1,因为kl=2,所以kAB=-.设直线AB与直线l相交于点M,如图,根据点差法可知kABkOM=-=-,所以kOM=,即直线OM:y=x,联立得M(1,),根据向量的平行四边形法则可知|+|=2|,因为|=,所以|+|=.故选C.7.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,短轴长为2,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A,B两点.若=3,则k等于(B)(A)1 (B) (C) (D)2解析:根据题意可知2b=2,所以b=1.由离心率为,得=,解得a2=4,所以椭圆C:+y2=
5、1.过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为y=k(x-),即x=y+.为简化计算,令t=,则x=ty+.由消去x,整理可得(t2+4)y2+2ty-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=3可得=-3.由可得y1+y2=,y1y2=.因为=+2+=-3+2-=-,所以=-,解得t2=,所以k2=2,由k0,可得k=.故选B.二、填空题8.椭圆+=1的左右焦点分别是F1,F2,椭圆上一点P的横坐标为1,则|PF1|=.解析:易得P(1,),F1(-4,0),|PF1|=.答案:9.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长是 ;若ABF2
6、的内切圆的面积为,A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为 .解析:根据椭圆的定义AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,因为AF1+BF1=AB,所以ABF2的周长C=4a=16.=+=|y2-y1|(A,B在x轴的上下两侧),设ABF2的内切圆半径为r,所以=Cr=161=8,所以|y2-y1|=.答案:1610.已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1(a1)的左、右焦点,点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则长轴长为;若P是椭圆上的一点,且|PF1|PF2|=,则=.解析:由椭圆C:+y2=1(a1),知c=.所以F2(,0),点F2关于直线y
7、=x的对称点Q(0,),由题意可得=1,即a=,则长轴长为2.所以椭圆方程为+y2=1.则|PF1|+|PF2|=2a=2,又|PF1|PF2|=,所以cos F1PF2=.所以sin F1PF2=.则=|PF1|PF2|sinF1PF2=.答案:211.(2019温州8月模拟)A,B是椭圆+y2=1上两点,线段AB的中点在直线x=-上,则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是 .解析:由题意知AB斜率存在,设直线AB方程为y=kx+b,(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,由线段AB的中点在直线x=-及韦达定理得,x1+x2=-=-1b=k+(-,-,+).答案:(-,-,+)12
8、.(2019七彩阳光联盟第三次联考)已知P为椭圆C:+=1上一个动点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若|PF1|PF2|=,则=,d=.解析:由|PF1|PF2|=,再根据定义|PF1|+|PF2|=4,可求cosF1PF2=,所以sinF1PF2=,得=,又=2yP=yP=xP=,所以切线方程为+=1x+y=,所以d=.答案:三、解答题13.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,且过点P(,).(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作
9、AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解:(1)因为椭圆焦距为4,且过点P(,),所以2c=4,+=1且a2=b2+c2,所以 a2=8,b2=4,c2=4,椭圆C的方程是+=1.(2)一定有唯一的公共点.理由:由题意知,点E坐标为(x0,0).设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).再由ADAE知,即xDx0+8=0.由于x0y00,故xD=-.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G(,0).故直线QG的斜率kQG=.又因为点Q(x0,y0)在椭圆C上,所以+2=8.从而kQG=-.故
10、直线QG的方程为y=-(x-).将代入椭圆C的方程,化简,得(+2)x2-16x0x+64-16=0.再将代入,化简得x2-2x0x+=0.解得x=x0,则y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.14.(2019台州4月模拟)已知斜率为k的直线l经过点M(0,m),且直线l交椭圆+y2=1于A,B两个不同的点.(1)若k=1,且A是MB的中点,求直线l的方程;(2)若|AB|随着|k|的增大而增大,求实数m的取值范围.解:(1)直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程x2+4y2=4,消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),=64m2-80(m
11、2-1)=16(5-m2)0,m(-,),则x1+x2=-,x1x2=,由A是MB的中点,知x2=2x1,代入上式得x1=-m,x2=-m,所以m2=,解得m=.所以直线l的方程为y=x.(2)直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程x2+4y2=4,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)=16(1+4k2-m2)0,则x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=,设t=1+4k2,t1,+),则|AB|=2,令x=,0x1,则|AB|=2,因|k|越大,|AB|越大,所以t越大,x越小,y=(1+3x)(1-m2x)在(0,1上是减函数,所以-0,m23,m的取值范围是(-,-,+).
