1、第24届中学生物理竞赛预赛试卷参考解答2007.9.2一、参考答案1大爆炸 2超新星 中子星 黑洞 3核聚变 4 小潮时和50,4L，L评分标准：本题25分第1小题3分第2小题6分，每一空格2分第3小题3分，第4小题6分第一空格中画对一个图给2分，画对两个图给3分；第二空格中画对一个图给2分，画对二个图给3分第5小题7分第一空格2分，第二空格3分，第三空格2分二、参考解答: 当光滑平板与水平面的倾角为时，无论小球P处在斜面上什么位置，它受的重力在斜面上的投影总是垂直于HH，大小总是等于mgsin以此作为重力的一个分力，则重力的另一个分力即垂直于斜面的分力mgcos总是与斜面对小球P的支持力平衡
2、这样，小球P在斜面内只受上述重力的分量mgsina和细绳拉力的作用当小球P运动到圆周的最高点时，细绳垂直于HH，绳的拉力与小球所受重力的分量mgsin沿同一直线，这时只要细绳不松弛，小球就能保持在板面内作圆周运动设小球到达圆周最高点时的速度为v，绳的拉力为T，有 (1)由能量关系，有 (2)由(1)、(2)式得 (3)细绳不松弛的条件是 T (4)由(3)、(4)式得a (5)代入有关数据，得a (6)当倾角a0时，经相同的分析可得a (7)由(6)、(7)两式，可知a的取值范围为 a (8)评分标准：本题25分 (1)式7分，(2)式7分，(4)式5分，(5)式或(6)式3分，(7)式3分三
3、、参考解答: 以m表示气缸内气体的质量，表示其摩尔质量当气体处在初始状态时，已知其压强为P。、体积为V.设其温度为T，由理想气体状态方程有 (1) 在过程1中，对气体加热时，活塞s位置固定不动，气体体积保持不变，气体对外不做功根据热力学第一定律有 (2)式中T为加热后气体的温度根据题意，这时气体的压强为P，由理想气体状态方程可知 (3)由(1)、(2)、(3)式得 (4)在过程2中，对气体加热时，活塞要移动，气体的压强保持P0不变，体积由V0变为V2，气体对外做功根据热力学第一定律，有 (5)式中T为加热后气体的温度由理想气体状态方程可知 (6)由(1)、(5)、(6)式，得 (7)由(4)、
4、(7)式得 (8)评分标准：本题25分(1)式2分，(2)式7分，(3)式2分，(5)式7分，(6)式2分，(8)式5分四、参考解答 1两导线排的电流产生的磁场 考察导线排M1，M2中的电流产生的磁场，取x轴与导线排M1M2重合，Y轴与导线排MlM2垂直，如图l所示位于x和x+x(x为小量)之间的细导线可以看作是“一根”通有电流I的长直导线，它在Y轴上P点产生的磁感应强度的大小为 (1)r为P点到此直长导线的距离，B的方向与r垂直，与电流构成右手螺旋将AB分解成沿x方向和Y方向的两个分量B和B，有 (2) (3)根据对称性，位于一x到一(x+x)之间的细导线中电流产生的磁感应强度在Y方向的分量
5、与By，大小相等、方向相反可见整个导线排中所有电流产生的磁场在Y方向的合磁场为0由图1可看出一 (4)把(4)式代入(2)式得 (5)导线排上所有电流产生的磁感应强度B= (6)注意到得B=k (7)即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场，磁场的方向分别与M1M2和M3M4线排平行如图2所示，两导线排中电流产生的磁感应强度B(M1M2)与B(M3M4)成1200，它们的合磁场的磁感应强度的大小 (8)方向与00平行，由0指向02.半导体片左右两侧面间的电势差当半导体片中通有均匀电流I0时，半导体片中的载流子作定向运动，N型半导体的载流子带负电荷，故其速度v的方向与I0方向相反，垂直纸面向里
6、，且有:I0=nqvS (9)式中S为半导体片横截面的面积 S= (10)载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力fB的作用，其大小为fB=qvB0 (11)对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧，于是负电荷积聚在左侧面上，从而左侧面带负电，右侧面带正电，两侧面间出现电势差U=U右-U左带负电荷的载流子受到静电力fE由左侧面指向右侧面，达到稳定时，fE与fB平衡，即f (12)由(8)、(9)、(10)、(II)、(12)各式得U=k (13)评分标准：本题25分 (7)式8分，(8)式4分，(9)式3分，(t2)式5分，(13)式5分五、参考解答: 1.在线框转动过程中，三角形的AC、CD两边因切
7、割磁感应线而产生感应电动势，因长度为d的AC边和CD边都不与磁场方向垂直，每条边切割磁感应线的有效长度，即垂直于磁场方向的长度为l=dsin30 (1)因AC边上不同部分到转轴的距离不同，它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大，故可认为AC边上各部分产生的总电动势，数值上等同于整条AC边均以AC边中点处的速度运动时产生的电动势.而: (2)设在t=0至时刻t,三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为,则 =t (3)因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直,沿垂直磁场方向的分量 (4)由些得到t时刻AC边中的感应电动势 (5)其方向由A指向C，由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式
8、得 (6)同理可得 (7)其方向由C指向D，三角形线框中的总电动势 (8)其方向沿ACDA回路方向因线框中的总电阻为3R，故t时刻线框中的电流 (9)2.对于AP来说，长度为x，在t=0时刻，cost=1，而以x代替(6)式中的d，即可得AP段中的感应电动势的大小 (10)方向由A点指向P点由(9)式，此时线框的电流 (11)根据含源电路欧姆定律，P点的电势 (12)把(10)、(11)两式代入(12)式，经整理后得 (13)为了画出UP(x)图线，先求出若干特征点的电势值：(13)式右侧是一个关于x的二次方程，故UP(x)图线为一抛物线，(13)式可改写为 (14)由(14)式可知,此抛物线
9、(i)x=0和 UP=0(ii)抛物线的顶点坐标为 (iii) 图线如图所示 评分标准：本题25分 第1小题l3分求得(6)或(7)式8分，(8)式2分，(9)式3分 第2小题l2分(10)式4分，(13)式4分，图线正确给4分x/mm01020304010203040y/mm六、参考解答： 1评分标准：本题25分1图线形状正确给l0分，横坐标标度正确给5分，纵坐标标度正确给5分2求得平均速度大小给5分七、参考解答：1.21；13对凹面镜光路图如图l所示评分标准：本题25分 第1小题l0分每一空格5分 第2小题5分填对一个空格给3分，填对二个空格给5分第3小题l0分每图5分八、参考解答：BNB
10、C图1解法一 1.因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有 (1) ABC是等边三角形， (2) 故OABC为正四面体，如图l所示三角形薄板所受的力有：(i)B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O.又由对称性可知, NB=NC (3)它们的合力NBC沿COB的角平分线DO的方向，其大小为 NBC=2NBcos300= (4)DO的长度 (5)(ii)重力FG的大小 FG=mg (6)它作用于三角形ABC的重心G.G位于AD上,与A的距离 (7)重力的方向与OA平行,该力位于OAD平面内
11、,与OD相交.用P表示其交点,则 (8)(iii)设碗面在A点作用于薄板的约束力为NA,薄板(或可看成刚性正四面体OABC)在NBC、FG和NA三个力作用下保持平衡，这三力应在同一平面内，且应共点，即NA应与FG和NBC都在OAD平面内，且应通过P点，如图2所示。在三角形ODA中图2 设DOA=，则 ODA=-在三角形ADO中，由正弦定理，有：由此可得图3 （9）设OAP=，在三角形OPA中，由余弦定理得由正弦定理得：即 （10）FG、NBC和NA三力平衡，它们应形成封闭的三角形，如图3所示。由正弦定理得 （11）由（10）、（11）式和（3）、（4）、（6）各式得 （12） （13）得：图4
12、NB=NC= （14）2解除对A点的约束后，A、B、C三顶点将从静止开始沿碗面滑动根据对称性可知，薄板处于水平位置时重心最低，从而重力势能最小根据机械能守恒定律，此时薄板的动能最大此时薄板的重心将移至O点正下方的G点，如图4所示由几何关系并考虑到(7)式，G相对碗最低点的高度 (15)A点被约束时薄板重心为G点，参阅图1，可知G点相对碗最低点的高度 (16)由(7)和(9)式可得 (17) 由(15)、(17)两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最人动能为 (18)评分标准：本题25分 第1小题20分
13、(4)式2分，(10)式7分，(11)式7分, (12)式2分，(14)式2分第2小题5分(15)式1分，(17)式2分，(18)式2分解法二图1 1当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，必位于过B、C两点的水平圆面内，以O表示此水平圆面的圆心，如图l所示碗内壁球面的球心为O，则O以及A、O三点必位于同一条竖直线上由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小由对称性可知 NB =NC (1)因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形,AOB=BOC=600 (2)把NB分解成沿竖直方向的分量NB和位于水
14、平面内的分量NB/，则有 （3） (4)同理有 (5) (6)NB/与BO平行,NC/与CO平行,都平行于以O为圆心的水平圆面,可以把这两个力移到圆心为O的水平圆面内,如图2所示.NB/和NC/的合力为N/. 球而底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿竖直方向的分量NA和位于水科面内的分量NA/.当三角形薄板达到平衡时，有NA/= N/=2 NB/cos (7)mg-NA- NB- NC=0 (8)由图l可知，圆心为0的水平圆面的半径R即线段是等边三角形OAB的高，故有 (9)由图2得 (10)由以上有关各式,(7)、（8）两式可写成 （11）NA=mg-NB (12)当三角形薄板达到平衡时
15、，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零。NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有NA/、NA和生力mg对BC边有力矩作用。平衡时有 （13）由（9）、（10）式可知 （14）把（14）式代入（13）式，得 （15）由（11）、（12）和（15）式及（1）式 （16） （17） （18） （19）2当解除对A点的约束，A、B、C三顶点将在球面内从静止开始滑动。根据对称性可知，必有一时刻薄板处于水平位置，这时板的重心最低，重力势能最小，薄板具有的动能最大，这动能来自薄板减少的重力势能。在图1中三角形ADO为直角三角形，一条直角边DO位于水平位置，另一条直角边AO 位于竖起位置，根据题意及几何关系可知，三角形薄板的重心G位于斜边AD上，离A点的距离为，重心G的高度 (20)当三角形薄板的三条边位于同一水的圆面内时，三角形的重心G与其三边所在圆面的圆心重合，如图3所示，这时，三角形薄板重心G的高度 (21)薄板的最大动能 （22）评分标准：本题25分 第1小题20分(11)式6分，(12)式6分，(15)式4分，(16)式2分，(19)式2分第2小题5分(20)式1分，(21)式2分，(22)式2分
