1、第2讲 函数的单调性与最值考试要求1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对
2、于任意xI，都有；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有；(4)存在x0I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)M诊 断 自 测2.下列函数：yex；yx3；yln x；y|x|.其中定义域是R且为增函数的是_(填序号).解析中，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；中，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；中，函数定义域为(0，)，不符合要求；中，函数定义域为R，但在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不符合要求.答案 3.函数f(x)lg x2的单调递减区间是_.解析f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增
3、函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上递增，故f(x)在(，0)上单调递减.答案(，0)答案 2，1考点一 函数单调性的判断(证明)所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)ac规律方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解.微题型4解函数不等式答案(，0)(1，)规律方法解决函数不等式问题的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f
4、(x1)f(x2)的形式；(2)论证函数f(x)的单调性；(3)根据单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1x2”的常规不等式，从而得解.答案(1)4(2)(，1)思想方法1.判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法和函数单调性的基本性质.2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义 域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数.3.复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数.简称：同增异减.易错防范1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上的单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
