1、第六节对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大
2、于0且不等于1，b0)(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的
3、打“”)(1)log2x22log2x.()(2)当x1时，logax0.()(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象不在第二、三象限()(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，clog，则()AabcBacbCcbaDcabD3已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图261，则下列结论成立的是() 【导学号：31222050】图261Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D4(教材改编)若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值
4、范围是()A.B(1，)C.(1，) D.C5(2017杭州二次质检)计算：2log510log5_，2log43_.2对数的运算(1)设2a5bm，且2，则m等于()A.B10C20D100(2)计算：100_.(1)A(2)201.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算3abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化(1)(2017东城区综合练习(二)已知函数f(x)
5、则f(2log23)的值为()A24B16 C12D8(2)(2015浙江高考)计算：log2_，2log23log43_.(1)A(2)31.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解(2017西城区二模)如图262，点A，B在函数ylog2x2的图象上，点C在函数ylog2x的图象上，若ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为(m，n)，则m() 【导学号：31222051】图262A2B3C. D.D对数函数的性质及应用角度1比较
6、对数值的大小(2016全国卷)若ab0,0c1，则()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacbB角度2解简单的对数不等式(2016浙江高考)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0D角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)loga(3ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由假设存在满足条件的实数a.a0，且a1，u3ax在上是关于x的减函数.3分又f(x)loga(3ax)在上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，a1，x
7、时，u最小值为32a，7分f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即10分故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间上为减函数，并且最大值为1.12分利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的1对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3比较幂
8、、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定1在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1与a1两种情况讨论2在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围课时分层训练(九)对数函数A组基础达标(建议用时：30
9、分钟)一、选择题1函数y的定义域是() 【导学号：31222052】AB2(2017石家庄模拟)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()AabcBabcCabcDabcB3若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图263所示，则下列函数图象正确的是()图263A B CDB4已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A5B3 C1D.A5已知yloga(2ax)在区间上是减函数，则a的取值范围是() 【导学号：31222053】A(0,1)B(0,2)C(1,2)D上单调递减，u2ax(a0)在上是减函数，所以ylogau是增函数，所以a1.
10、又2a0，所以1a2.二、填空题6(2015安徽高考)lg 2lg 21_.17函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_(，1)(1，)8(2016浙江高考)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.42三、解答题9设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.3分由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3).5分(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2，7分当x(1,1时
11、，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.12分10已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.(1)当x0时，x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，2分所以函数f(x)的解析式为f(x)5分(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4).8分又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，).12分B组能力
12、提升(建议用时：15分钟)1(2017东北三省四市一联)已知点(n，an)(nN*)在yex的图象上，若满足当Tnln a1ln a2ln ank时，n的最小值为5，则k的取值范围是() 【导学号：31222054】Ak15Bk10C10k15D10k15C2(2015福建高考)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是3已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集(1)要使函数f(x)有意义，则解得1x1.3分故所求函数f(x)的定义域为(1,1).4分(2)证明：由(1)知f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数.8分(3)因为当a1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以f(x)01，解得0x1，所以使f(x)0的x的解集是(0,1).12分
