1、暑期专题辅导材料五 一、本讲进度第六章 不等式 6.1 不等式6.2 不等式的性质 二、主要内容1熟练掌握实数比较大小的依据：2能利用上述比较大小的依据，将比较大小的问题转化为研究二数(或式)的差的符号问题3能系统地掌握不等式的性质，熟悉性质定理的证明方法4通过定理的证明的学习和性质的运用，培养逻辑推理论证的能力三、学习指导1研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研
2、究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要
3、工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。2不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1） 一个公理：a b a-b 0这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法比较法。 （2）三个基本性质： abbb，bcac aba+cb+c在传递性中，称ab，bcac，从左向右是缩小；称ab，bcaba+cb+c，推论：ab，cda+cb+d；ab，cb-d ab，c0acbc；ab，c0acbd特例：ab0anbn nN，n1 （ii）特例：ab，ab0 ab0
4、 n1，nN运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。对于乘方性质，可推广为：ab0，n为正有理数，则anbn。对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=在（-，0），（0，+）上的音调性理解。3掌握不等式的性质，主要注意不等式成立的前提条件（如R或R+）。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“”还是“”。不等式性质的表达形式是以单个字母a、b等出现的，实际上a、b既可以是数，也可以是式，应学会用整体思想解题。4若不等式中不等号是非严格不等号“”“”，则应注意等号成立的条件是否满足。在
5、运用运算性质求量的取值范围时，若每一个不等式中都含有变量，则应减少运用运算性质的次数，否则最后结果可能不准确。可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。四、典型例题 【例1】 若ab0，cd0，e0，求证：。解题思路分析：比较不等式两边结构特点，应从a-c与b-d的大小比较着手。在利用“同向相加”的运算性质时，要对cdb0进行相加。 cd-d0 a-cb-d0 （同向相加） (a-c)2(b-d)2 （乘方性质） （倒数性质） e0 【例2】 已知，求+，-，的取值范围。解题思路分析：+的范围用不等式同向相加的性质，利用转化思想，-的范围也用不等式同向相加的性质，利用“正数同向相乘”的运算性质
6、。 ， ， 【例3】 设f(x)=ax2+bx（a0），若1f(-1)2，2f(1)4，求f(2)取值范围。 解题思路分析：因f(-1)，f(1)的范围已知，故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下：途径一：因f(-1)、f(1)、f(2)都与a、b有关，参数a、b作为中间变量，起桥梁和过渡作用。先用f(1)、f(-1)表示a、b，再将a、b表达式代入f(2)即可。由得 f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1) 63f(1)12，1f(-1)2 7f(2)14途径二：因f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a、b的一
7、次表达式，故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下，用待定系数法求解。设f(2)=f(1)+f(-1) ，、R 4a+2b=(+)a+(-)b由恒等式的知识： f(2)=3f(1)+f(-1)与途径一的结论完全相同。但少了求参数消参数的过程，途径二显得简洁。注：本题有一种典型的错误解法，就是考虑求出a、b的范围。 ff(2)=4a+2b15首先看结果，此正确方法得出的结果范围大。其次，从特殊情形着手检验一下：当4a+2b=6时，由推导过程知，a=，b=0，但显然不满足原始条件：a-b1，a+b2。那么原因何在呢？从运算角度看，是对含变量的不等式多次运用了运算性质
8、，造成了式的范围扩大，如此处等号不能取到。从结果看，由f(-1)、f(1)的范围求出a、b范围，这两者不是充分必要的关系，是充分不必要的关系。所以前面“学习指导”中强调了在求含变量式子的取值范围时，尽量少用不等式的运算性质。 【例4】 已知0a，A=1-a2，B=1+a2，C=，D=，试比较A、B、C、D的大小。解题思路分析：根据a的条件及A、B、C、D表达式特征，首先寻找一个中间变量，以中间变量为标准进行分组，减少比差法的工作量。 0a 01-a1 C1，B1，0A1，0D0恒成立 1-a0，-a0 B-C0，BC A-D=1-a2- 0a0，AD CBAD注：因A、B、C、D均为正实数，C
9、、D均为分式形式，也可采用“BCD1”的原理进行。有兴趣的同学可以自行研究。 【例5】 已知x、y、a、b均为正实数，x+y=1，比较与的大小。解题思路分析：直接用比差法不能进行变形化简，注意到：当x、y、a、b均为正实数时，及也都为正实数。可利用不等式性质：ab0a2b2，化无理问题为有理问题，从而便于变形，进一步地，可判断符号。0从而 当且仅当a=b时等号成立注：在比较两数（式）大小时，若存在相等情形，则应交代等号成立条件。巩固练习 （一）选择题 1若ab|b| Da2b22下列推导中，错误的是Ac-ab BC D3若ab，xy，则下列不等式中正确的是Aa-xb-y Baxy-a4若a、b
10、是任意实数，ab，则下列不等式正确的是AA2b2 B Clg(a-b)0 D5若a、bR，则下列命题为真命题的是A若|a|b，则a2b2 B若aba2C若a|b|，则a2b2 D若ab，则6x2是1的A充分且必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分也非必要条件7a、bR，则成立的一个充分非必要条件是Aba0 Ba0 Dab8已知a、b、cR，那么下列命题为真命题的是Aabac2bc2 BC D9若a、bR，且ab，在a2+3ab2b2；a5+b5a3b2+a2b3；a2+b22(a-b-1)；这四个式子中，恒成立的有A1个 B2个 C3个 D4个10a、bR，当两个不等式ab和同
11、时成立时，a、b必须满足的条件是AAb0 Bab0-a D-a0-b （二）填空题11已知a+b0，bb0，cd0，ebc，比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小。17已知A=，B=，试比较A与B的大小。18已知-3xy1，-4z0，因a、b不同号，故不能保证ab。3D。 ab-b-a，x+(-b)y+(-a)，x-by-a4D。 利用指数函数单调性，函数y=在（-，+）上是减函数，ab时。5C。|b|0，a|b|0，a2|b|2，a2b26B。，或x2”是“x2，或x0a。8C。 a3b3ab，又ab0，b0，a2+ab+b2=(a+，但a+b的符号不能判断，的符号不能判
12、断；=a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20，a2+b22(a-b-1)；当abb，a-b0，ab0b，-a0-bb-a 。如图画出函数轴：12 必要不充分条件 。当取x=，y=2时，充分性不成立。13 。-c-d0，ab0，a-cb-d0，e0，。14 。P2-Q2=，P20，PQ。15 。由得adbc，ad-bcbc a-b0，c-a0，c-b0 a2b+b2c+c2aab2+bc2ca2注：（1）作差后在分组时，凡差式均可作为一组，如a2b-ab2，a2b-bc2等，一旦第一组确定，后面的分组应向第一组中公因式靠拢，如本题，当第一组出现a-
13、b后，后面的两组也应考虑出现公因式a-b； （2）对c2-c(a+b)+ab的分解，强调主元思想，即将本式三个字母a、b、c中的c作为主元，此式为关于c的二次三项式，再因式分解或配方，思路就清晰了。在处理轮换对称式时，应重视主元思想。17解：令x=20001111，则A=，B=因A、B同底，下比较与的大小即可。作差：0 在（0，+）上是增函数 AB。18解： -3y1 -1-y3又 3x1 -4x-y4又 xy x-y0 -4x-y0 0y-x4又 4z0 0-z4 0-z(y-x)16 0z(x-y)16注：（1）本题利用转化思想，不断创造条件，利用“正数同向相乘”的性质； （2）不等式“-3xy1“称为连号不等式，它实际上是若干个不等式组成的不等式组的一种简写形式。根据不等号的个数，对应着若干个独立的不等式。如本题独立不等式有三个：-3x，xy，y1。根据解题需要，可从中推出所需的不等式。本题目的求x-y的常数范围，因此要利用传递性得到x1，y。19 解： -4f(1)-1，-1f(2)5 ， -1f(3)2020 解：设电子琴的月供应量为x架，洗衣机月供应量为y台，则由已知得： 设利润为S，则S=6x+8y下将6x+8y表示为30x+30y，5x+10y的线性组合即可，方法见前面例题。S= 300+660=960当且仅当，时，S取得最大值，最大值为960。10
