1、专题检测四概率与统计一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%2.(2022辽宁丹东模拟)体育课上进行投篮测试,每人投篮3次,至少投中1次则通过测试.某同学每次投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.064B.0.600C.0.784D.0.9363.(2022山
2、东潍坊三模)某省新高考改革方案推行“3+1+2”模式,要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门.某学生各门功课均比较优异,因此决定按方案要求任意选择,则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为()A.B.C.D.4.(2022全国乙文4)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育
3、运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.(2022江苏苏锡常镇二模)随着北京冬奥会的举办,中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立6.(2022山东日照三模)若将整个样本空间想象成一个边长为
4、1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积,则如图所示的阴影部分的面积表示()A.事件A发生的概率B.事件B发生的概率C.事件B不发生条件下事件A发生的概率D.事件A,B同时发生的概率7.(2022全国乙理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3p2p10.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大8.(2022山东德州模拟)某高中有学生
5、500人,其中男生300人,女生200人,希望获得全体学生的身高信息,按照分层随机抽样的原则抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170 cm,方差为17 cm2;女生身高样本均值为160 cm,方差为30 cm2.下列说法中正确的个数是()男生样本量为30;每个女生入样的概率均为;所有样本的均值为166 cm;所有样本的方差为22.2 cm2.A.1B.2C.3D.49.(2022江苏南京三模)连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次,每次结果要么正面向上,要么反面向上,且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上,也有反面向上”,事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”,事件C
6、表示“3次结果中没有正面向上”,则下列说法错误的是()A.事件B与事件C互斥B.P(A)=C.事件A与事件B独立D.记C的对立事件为,则P(B|)=10.(2022山东德州二模)教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出,各地要加强对学生体质健康重要性的宣传,中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导,让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素,了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用,提高学生体育与健康素养,增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有2 000名男生
7、,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列说法错误的是()A.样本的众数为67.5B.样本的80%分位数为72.5C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人11.(2022广东深圳模拟)如图是一块高尔顿板示意图,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,3,10,用X表示小球落入格子的号码,则(
8、)A.P(X=1)=P(X=9)=B.P(X=1)=P(X=9)=C.D(X)=5D.D(X)=12. (2022山东济南三模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点Q的初始位置位于点A处,记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn,则下列说法错误的是()A.P2=B.Pn+1=Pn+C.点Q移动4次后恰好位于点C1的概率为0D.点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022新高考13
9、)随机变量X服从正态分布N(2,2),若P(22.5)=.14.(2022全国甲理15)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.15.(2022云南昆明一模)长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花,也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料.新疆具有独特的自然资源优势,是我国最大的长绒棉生产基地,产量占全国长绒棉总产量的95%以上.新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质,选取甲、乙两地实验田进行种植.在棉花成熟后采摘,分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本,测定其马克隆值,整理测量数据得到如下22列联表(单位:份),其中40a50且aN*.注:棉花的马克隆值是反映
10、棉花纤维细度与成熟度的综合指标,是棉纤维重要的内在质量指标之一.根据现行国家标准规定,马克隆值可分为A,B,C三个级别,A级品质最好,B级为标准级,C级品质最差.类别A级或B级C级合计甲地a50-a50乙地80-aa-3050合计8020100当a=a0时,依据小概率值=0.01的独立性检验,可以认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,则a0的最小值为.附:2=.0.050.010.001x3.8416.63510.82816. (2022天津西青模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为周碑算经一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方
11、形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设在ABD中,AD=6,BD=2,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021全国乙文17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.1
12、10.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为,样本方差分别记为.(1)求;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.18.(12分)(2022新高考19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间20,70
13、)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.000 1).19.(12分)(2022山东潍坊三模)盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机性.因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知M系列盲盒共有12个款式,为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱,向00前、00后人群各随机发放了50份问卷,并全部收回.经统计,有45%的人未购买该系列盲盒,在这些未购买者当中,00后占.(1)请根据以上信息填
14、表,并分析依据小概率值=0.01,能否认为购买该系列盲盒与年龄有关?类别00前00后合计购买未购买合计100附:2=,0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828(2)一批盲盒中,每个盲盒随机装有一个款式,甲同学已经买到3个不同款,乙、丙同学分别已经买到m个不同款,已知三个同学各自新购买一个盲盒,且相互之间无影响,他们同时买到各自的不同款的概率为.求m;设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数,求X的分布列和数学期望.20.(12分)(2022山东德州二模)2021年12月17日,工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度
15、培育体系,引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向,“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.下表是某地各年新增企业数量的有关数据:年份/年20172018201920202021年份代码x12345新增企业数量y817292442(1)请根据上表所给的数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测2023年此地新增企业的数量;(2)若在此地进行考察,考察企业中有4个为“专精特新”企业,3个为普通企业,现从这7个企业中随机抽取3个,用X表示抽取的3个为“专精特新”企业个数,求随机变量X的分布列与期望.参考公式:经验回归方程x中,斜率和截距最小二乘估计公式分
16、别为.21.(12分)(2022广东深圳二模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场则专业队获胜;若甲连续输两场则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,乙赢的概率为;甲与丙比赛,丙赢的概率为p,其中p.(1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛
17、?(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金3万元,负队获奖金1.5万元;若平局,两队各获奖金1.8万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望E(X)的取值范围.22.(12分)(2022辽宁锦州一模)某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度,对去该市甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本,得到如下统计表(单位:人):满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230(
18、1)从样本中任取1人,求此人没去丙景点的概率;(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个景点,从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机选取3人,记X为去乙景点的人数,求X的分布列和数学期望;(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游,那么以满意度得分的均值为依据,你建议王某是报团游还是自驾游?说明理由.专题检测四概率与统计1.C解析: 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.2.D解析: 该同学通过测试的概率为1-0.43=0.936.3.D解析: 由题设,该生选考物理、生物和政治这3
19、门科目的概率P=.4.C解析: 由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为=7.4,故A正确;甲同学有6周的课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为8,8,8,乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,故B正确;乙同学仅有3周的课外体育运动时长小于8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为0.6,故D正确.5.C解析: 依题意甲、乙两人所选课程有如下情形:有一门相同,两门都相同,两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,且P(A)=,P(B)=,P(C)=,且P(AC)=,P(BC)=0,所以P(AC)=P(
20、A)P(C),P(BC)P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.6.A解析: 由题意可知P(A|B)P(B)+P(A|)(1-P(B)=P(AB)+P(A|)P()=P(AB)+P(A)=P(A).7.D解析: 当该棋手在第二盘与甲比赛时,p=2p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=2p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=2p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.由p3p2p10,可
21、知该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.8.B解析: 对于:抽样比为,所以样本中男生有300=30人,故正确;对于:每个女生入样的概率等于抽样比,故不正确;对于:由分层随机抽样知,样本中男生有30人,女生有20人,所有的样本均值为=166,故正确;对于:设男生分别为x1,x2,x30,平均数=170,=17,女生分别为y1,y2,y20,平均数=160,=30,所有样本的平均数为=166,方差为s2,s2=(yi-166)2,因为(xi-170)+(170-166)2=(170-166)2+2(xi-170)(170-166),而(xi-170)(170-166)=(170-166)(xi-170)
22、=4(xi-30170)=0,所以(170-166)2=3017+4230=990,同理可得(160-166)2=3020+6220=1 320,所以s2=(990+1 320)=46.2,故不正确.故选B.9.A解析: 选项A:显然B发生的情况中包含C,故事件B与事件C可同时发生,错误;选项B:P(A)=1-2=,正确;选项C:P(B)=,P(AB)=P(A)P(B),故事件A与事件B独立,正确;选项D:P(C)=,P(B|)=,正确.10.C解析: 对于A,样本的众数为=67.5,故A正确;对于B,由频率分布直方图可知样本的80%分位数为70+5=72.5,故B正确;对于C,由直方图估计样
23、本平均值为57.50.15+62.50.25+67.50.3+72.50.2+77.50.1=66.75,故C错误;对于D,2 000名男生中体重低于60 kg的人数大约为2 00050.03=300,故D正确.故选C.11.D解析: 设事件A表示小球向右下落,设X等于事件A发生的次数,则X等于落入格子的号码,而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次,所以XB,则P(X=k)=,k=0,1,2,10,所以P(X=1)=P(X=9)=,所以A,B不正确;又由D(X)=10,所以C不正确,D正确.12.B解析: 在正方体中,每一个顶点有3个相邻顶点,其中两个在同一底面,所以当点Q在下底面时,随机移动一
24、次仍在下底面的概率为,在上底面时,随机移动一次回到下底面的概率为,所以P2=,故A正确;Pn+1=Pn+(1-Pn)=Pn+,故B错误;点Q由点A移动到点C1处最少需要3次,任意折返都需要2次移动,所以移动4次后不可能到达点C1,故C正确;由于Pn+1=Pn+Pn+1-且P1=P1-,所以Pn-Pn=,所以P10=,故D正确.13.0.14解析: 由题意可知,P(X2)=0.5,故P(X2.5)=P(X2)-P(22,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为=(50.001+150.002+250.012+350.017+450.0
25、23+550.020+650.017+750.006+850.002)10=47.9(岁).(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间20,70)的概率为0.89.(3)设B=任选一人年龄位于区间40,50),C=任选一人患这种疾病,由条件概率公式可得P(C|B)=0.001 437 50.001 4.19.解 (1)零假设为H0:购买该系列盲盒与年龄无关.由题意可得类别00前00后合计购买352055未购买153045合计5050100则2=
26、9.0916.635,根据小概率值=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,所以认为购买该系列盲盒与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.(2)由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为,解得m=20或4,因为0m12,所以m=4.由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=;P(X=1)=2=;P(X=2)=2+;P(X=3)=.其分布列为X0123P所以数学期望E(X)=0+1+2+3.20.解 (1)=3,=24,(xi-)(yi-)=(-2)(-16)+(-1)(-7)+05+10+218=75,=4+1+0+1+4=10,所以=7.5,=1.5,所以=1.5+7.
27、5x.故预测2023年,即当x=7时,由经验回归方程可得=54,所以预测2023年此地新增企业的数量为54.(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,因为P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为X0123P所以E(X)=0+1+2+3.21.解 (1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P1=p+pp;第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P2=p+(1-p)p=-p2+p,因为p0,所以P1P2.所以,业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.(2)由已知X=4.5万元或X=3.6万元.由(1)知,业余队最优决策是
28、第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时业余队获胜的概率为P1=p,专业队获胜的概率为P3=(1-p)+(1-p)p,所以,非平局的概率为P(X=4.5)=P1+P3=p,平局的概率为P(X=3.6)=1-P1-P3=p.X的分布列为X4.53.6PppX的数学期望为E(X)=4.5p+3.6p=4.4-0.3p(万元),而p,所以E(X)的取值范围为(4.25,4.3)(单位:万元).22.解 (1)设事件A:从样本中任取1人,此人没去丙景点,由表格中所给数据可知,去甲、乙、丙旅游的人数分别为19,39,42,故P(A)=.(2)由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,3.从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机取1人,此人去乙景点的概率为,则XB,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为X0123P所以E(X)=0+1+2+3=1或E(X)=3=1.(3)由题干所给表格中数据可知,报团游、自驾游的总人数分别为52,48,得分为10分的报团游、自驾游的总人数分别为31,25,得分为5分的报团游、自驾游的总人数分别为12,14,得分为0分的报团游、自驾游的总人数分别为9,9,所以从满意度来看,报团游满意度的均值为,自驾游满意度的均值为,因为,所以建议王某选择报团游.
