1、专题检测五解析几何一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.B.-C.1D.-12.(2022吉林长春模拟)当直线l:x-my+m-1=0(mR)被圆x2+y2=4截得的弦长最短时,m的值为()A.-B.C.-1D.13.(2022北京东城三模)已知直线y=k(x-)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OAOB,则k=()A.B.C.1D.14.(2022北京北大附中三模)已知半径为r的圆C经过点P(2,0),且与直线x=-2相切,则
2、其圆心到直线x-y+4=0距离的最小值为()A.1B.C.2D.25.(2022云南曲靖一中高二期中)已知双曲线C:x2-=1(b0)的渐近线经过椭圆C1:=1与抛物线C2:y=x2的交点,则以双曲线C的两焦点为直径端点的圆的方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=3D.x2+y2=46.(2022福建福州模拟)圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则实数m的取值范围是()A.(-,-B.,+)C.-D.(-,-,+)7.(2022河北唐山三模)阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们
3、得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆C:=1(ab0)的面积为6,两个焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C的上顶点,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点.若PA,PB的斜率之积为-,则椭圆C的长轴长为()A.3B.6C.2D.48.(2022广东茂名模拟)已知双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧,若|AQ|2|AP|,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,B.,+)C.1,D.,+9.(2022河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:-x2
4、=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则()A.|PF1|-|PF2|=2B.双曲线C的渐近线方程为y=xC.双曲线C的离心率为D.|b0)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过点F2的直线与该椭圆相交于A,B两点,点P在该椭圆上,且|AB|1,则下列说法不正确的是()A.存在点P,使得F1PF2=90B.满足F1PF2为等腰三角形的点P有2个C.若F1PF2=60,则D.|PF1|-|PF2|的取值范围为-2,2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022北京12)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=x,则m=.14.(2022新高考14)写出与圆x2+y
5、2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:.15. (2022浙江镇海中学模拟)油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1 000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,北京的阳光与地面夹角为60),若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为.16.(2022山东济宁三模)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|
6、BF|=3,设M是抛物线C上的任意一点,N是抛物线C的对称轴与准线的交点,则的最大值为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022四川成都模拟)P为曲线C上任意一点,直线l:x=-4,过点P作PQ与直线l垂直,垂足为Q,点F(-1,0),且|PQ|=2|PF|.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上的点M(x0,y0)(x01)作圆(x+1)2+y2=1的斜率为k1,k2的两条切线,切线与y轴分别交于A,B两点,若k1k2=,求|AB|.18.(12分)(2022山东滨州二模)已知抛物线C:x2=2py(p0)在点M(1,y0)处的切
7、线斜率为.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线l:y=2x+m对称,求实数m的取值范围.19.(12分)已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.20.(12分)(2022福建漳州三模)已知圆C1:(x+2)2+y2=9,圆C2:(x-2)2+y2=1,动圆P与圆C1、圆C2都外切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知A,B是曲线C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,且AB的中
8、垂线为直线l,是否存在半径为1的定圆E,使得l被圆E截得的弦长为定值?若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2022山东菏泽二模)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,抛物线E上不同的两点M,N只能同时满足下列三个条件中的两个:|FM|+|FN|=|MN|,|OM|=|ON|=|MN|=8,直线MN的方程为x=6p.(1)问M,N两点只能满足哪两个条件(只写出序号,无需说明理由)?并求出抛物线E的标准方程.(2)如图,过点F的直线与抛物线E交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线E的另一交点为C,与x轴的交点为D,且|FA|=|FD|,求ABC面积
9、的最小值.22.(12分)(2022山东潍坊二模)已知M,N为椭圆C1:+y2=1(a0)和双曲线C2:-y2=1的公共顶点(M为左顶点),e1,e2分别为C1和C2的离心率.(1)若e1e2=.()求C2的渐近线方程;()过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A,B两点,直线MA,MB与直线x=1相交于A1,B1两点,记A,B,A1,B1的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),求证:.(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0a)引C1的两条切线,经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成的三角形的面积为S,试判断S是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请
10、说明理由.专题检测五解析几何1.A解析: 圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,a=,故选A.2.C解析: 直线l过定点A(1,1),圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为r=2,当lOA时,直线l:x-my+m-1=0(mR)被圆x2+y2=4截得的弦长最短,因为kOA=1,所以kl=-1,即=-1,m=-1.3.B解析: 直线y=k(x-)过定点(,0),且点(,0)在圆O:x2+y2=4内.因为直线y=k(x-)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OAOB,所以圆心O(0,0)到直线y=k(x-)的距离d=,所以d=,即k2=2,k=.
11、4.B解析: 依题意,设圆C的圆心为C(x,y),动点C到点P的距离等于到直线x=-2的距离,根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2=8x.设圆心C到直线x-y+4=0的距离为d,则d=,当y=4时,dmin=.5.B解析: 由解得则椭圆C1与抛物线C2的交点为P(1,1).因为点(1,1)在C的渐近线y=bx上,所以b=1,则双曲线C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以以F1F2为一条直径的圆的方程是x2+y2=2.6.D解析: 将x2+2mx+y2+m2-1=0化为标准方程得(x+m)2+y2=1,即圆心为(-m,0),半径为1,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为
12、2.因为圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,所以两圆的位置关系为外切或相离,所以2+1,即m25,解得m(-,-,+).7.B解析: 椭圆的面积S=ab=6,即ab=6.因为点P为椭圆C的上顶点,所以P(0,b).因为直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,不妨设A(m,n),则B(-m,-n),且=1,所以m2=a2-.因为PA,PB的斜率之积为-,所以=-,把m2=a2-代入整理化简得.联立解得a=3,b=2.所以椭圆C的长轴长为2a=6.8.C解析: 由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,由双曲线的对称性不妨令P,Q在渐近线y=x上,
13、由解得Q(a,b),P(-a,-b).又A为双曲线的左顶点,则A(-a,0),|AQ|=,|AP|=b.|AQ|2|AP|,2b,即4a23(c2-a2),e2.又e1,e1,.9.C解析: 双曲线C:-x2=1的焦点在y轴上,a=,b=1,c=2.对于A,|PF1|-|PF2|=2a=2,而点P在哪支上并不确定,故A错误;对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=x=x,故B错误;对于C,e=,故C正确;对于D,设P(x,y),则|PO|=(当x=0时,等号成立),因为O为F1F2的中点,所以|=|2|=2|2,故D错误.10.B解析: 如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4
14、.由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.又-42,+40,解得b1,则x1+x2=4-2b,x1x2=b2,|AB|=4=8,解得b=-1,点O到直线l的距离为d=,故SAOB=|AB|d=8=2,故C正确;对于D,设线段AF的中点为N(x3,y3),则x3=,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2,即|AF|等于点N到y轴距离的两倍,故以线段AF为直径的
15、圆一定与y轴相切,故D正确.12.B解析: 根据题意,可得c=.因为|AB|的最小值为1,所以=1.又c2=a2-b2,所以a=2,b=1,c=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.当点P为该椭圆的上顶点时,tanOPF2=,所以OPF2=60,此时F1PF2=120,所在存在点P,使得F1PF2=90,故A正确;当点P为椭圆的上、下顶点时,满足F1PF2为等腰三角形,又因为2-|PF2|2+,|F1F2|=2,所以满足|PF2|=|F1F2|的点P有两个,同理满足|PF1|=|F1F2|的点P有两个,故B不正确;若F1PF2=60,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2,由余弦定理得|F1
16、F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=12,又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=16,所以|PF1|PF2|=,所以|PF1|PF2|sinF1PF2=,故C正确;|PF1|-|PF2|=|PF1|-(2a-|PF1|)=2|PF1|-4,分析可得|PF1|2-,2+,则|PF1|-|PF2|-2,2,故D正确.13.-3解析: 由题意知a2=1,b2=-m,其中m0).又圆心O到直线l1的距离d1=1,解得b=(负值舍去).故内公切线l1的方程为y=-x+.由得直线l与直线OO1的交点为A
17、.则可设直线l2的方程为y+=k(x+1).又圆心O到直线l2的距离d2=1,解得k=,故直线l2的方程为y=x-.由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-x+,或y=x-.15.2-解析: 如图所示,伞柄底位于椭圆的左焦点,且左焦点到右顶点的距离为2,即a+c=2.在ABC中,由正弦定理得,a=,c=2,该椭圆的离心率为e=2-.16.解析: 设过点F0,的直线l的方程为y=kx+(斜率存在且不为0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x得y2-(2k2+1)py+=0,可得y1y2=.由|AF|=3|BF|=3,可得则,
18、解得p=.过点M作准线的垂线,垂足为D,则可得.若取到最大值,即MND最小,此时直线MN与抛物线C相切.x2=3y,即y=,则y=x.设M,则切线斜率k=x0,切线方程为y-x0(x-x0),切线过点N,代入得-=-,解得x0=,即M,则|MD|=,|ND|=,即MND=.则的最大值为.17.解 (1)设P(x,y),由|PQ|=2|PF|,得|x+4|=2,整理得=1,所以曲线C的方程为=1.(2)设过点M(x0,y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率必存在),A(xA,yA),B(xB,yB).圆心为F(-1,0),半径为r=1,所以点F(-1,0)到y-y0=k(x-x0)的距
19、离d=1,即(+2x0)k2-2(x0+1)y0k+-1=0,则k1+k2=,k1k2=.所以,又因为4=12-3,x01,解得x0=1.因为直线MA:y-y0=k1(x-x0),令xA=0,得yA=y0-k1x0,同理yB=y0-k2x0.所以|AB|=|yA-yB|=x0|k1-k2|=x0.18.解 (1)点M,则切线方程为y-(x-1),联立消去y并整理得x2-px+p-1=0,依题意,=p2-4(p-1)=0,解得p=2,所以抛物线C的标准方程是x2=4y.(2)设抛物线C上关于直线l对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),则设直线AB的方程为y=-x+t(tR),联立消去y
20、并整理得x2+2x-4t=0,1=4+16t0,解得t-,则x1+x2=-2,y1+y2=-(x1+x2)+2t=2t+1.显然线段AB的中点在直线l上,于是得t+=-2+m,即t=m-.而t-,因此m-,解得m,所以实数m的取值范围是.19.解 (1)当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).直线AM的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,设M(x0,y0),则x0=-,则|AM|=.由MANA,得直线NA的斜率为-(k0),所以|AN|=.由|AM|=|AN|,得,所以,即4k3-4+3k-3k2=0,整理可得(k-1)(4k2
21、+k+4)=0,由4k2+k+4=0无实根,可得k=1.故AMN的面积为|AM|2=.(2)由题意t3,k0,A(-,0),直线AM的方程y=k(x+),由得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.故|AM|=.由MANA,得直线NA的斜率为-(k0),所以|AN|=.由2|AM|=|AN|,得2,即3k+tk3=6k2+2t,因此t=,t3,等价于0,即0.由此得解得k2.因此k的取值范围是.20.解 (1)圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1=3.圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2=1.设动圆P的半径为R,因为动圆P与圆C1、圆C2都外切,所以|PC1|=R+r1=
22、R+3,|PC2|=R+r2=R+1,所以|PC1|-|PC2|=20,b0),c=,所以2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=.注意圆C1与圆C2外切于点(1,0),P不可能为(1,0),所以C的方程为x2-=1(x1).(2)存在圆E:(x-8)2+y2=1满足题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).因为A,B是C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,所以-得(x1+x2)(x1-x2)-=0.当kAB存在时,kAB=,所以AB的中垂线l的方程为y-y0=-(x-2),即l:y=-(x-8),所以l过定点T(8,0).当直线AB的斜率不存在时,点A,B
23、关于x轴对称,AB的中垂线l为x轴,此时l也过T(8,0).所以存在定圆E:(x-8)2+y2=1,使得l被圆E截得的弦长为定值2.21.解 (1)抛物线E:y2=2px的焦点为F,由知,点F在线段MN上,由知,OMN为正三角形,由知,直线MN过点(6p,0),显然矛盾.若满足,令M(t1,s1),N(t2,s2),则|MN|=t1+t2+p,由|OM|=|ON|,得,即+2pt1=+2pt2(t1-t2)(t1+t2+2p)=0,故t1=t2.又|OM|=|MN|,所以+2pt1=(2t1+p)2,整理得3+2pt1+p2=0,0,y1y2=-4,x1x2=1,m=,|AB|=x1+x2+2
24、=x1+2.由|FA|=|FD|,得D(x1+2,0),则直线AD:y=-(x-x1-2),联立消去x并整理得y2+y-x1-2=0,则点C的纵坐标为-y1,于是得点C4+x1+,-y1.又,点C到AB的距离d=,所以SABC=|AB|d=2+x1+=4=216,当且仅当,即x1=1时,等号成立,所以ABC面积的最小值是16.22.(1)()解 由题意得e1=,e2=,所以e1e2=,又a0,解得a2=4.故双曲线C2的渐近线方程为y=x.()证明 设直线AB的方程为x=ty+4,联立消去x得(t2-4)y2+8ty+12=0,0,且t2,所以y1+y2=,y1y2=,故=-.又直线AA1的方程为y=(x+2),所以y3=,同理y4=,所以=t+t+2t-t=-t.故.(2)解 S为定值a.设两个切点P1(x5,y5),P2(x6,y6),所以直线PP1的方程为l1:+y5y=1,直线PP2的方程为l2:+y6y=1.由l1,l2过P点可得可得直线P1P2的方程为+y0y=1.不妨设直线P1P2与双曲线的两条渐近线y=x交于两点P1,P2,则围成的三角形的面积S=.因为P在双曲线C2上,所以-a2=a2,则S=a为定值.
