1、高二数学同步测试（6）抛物线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1抛物线的焦点坐标是 （ ）A BCD 2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A BC D3抛物线截直线所得弦长等于 （ ）A BCD154顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是 （ ）A或 B或 C D5点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）A0 B1 CD2 6抛物线上有三点，是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ）A成等差数列 B成等差数列 C成等差数列 D成等差数列7若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，
2、则 取得最小值时点的坐标是 （ ）A（0，0） B（1，1） C（2，2） D8已知抛物线的焦点弦的两端点为,则关系式 的值一定等于 （ ）A4p B4p Cp2 Dp 9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则 （ ）A B C D10若AB为抛物线y2=2px (p0)的动弦，且|AB|=a (a2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ） Aa Bp Cap Dap二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _12已知圆，与抛物线的准线相切，则 _13如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数
3、a的取值范围是 14对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） _三、解答题（本大题共6小题，共76分）15已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.（12分）16已知抛物线y=ax21上恒有关于直线x+
4、y=0对称的相异两点，求a的取值范围.（12分）17抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.（12分）18已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（2）设P（2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12分）19已知抛物线y2=4ax(0a1的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于
5、不同的两点M和N，设P为线段MN的中点（1）求MF+NF的值；（2）是否存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.（14分）20如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求OPQ面积的最大值.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11 12 2 13 14 （2），（5）三、解答题（本大
6、题共6题，共76分）15（12分）解析：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：16（12分）解析：设在抛物线y=ax21上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(y,x)，则 ，由得x+y=a(x+y)(xy),P、Q为相异
7、两点，x+y0，又a0，代入得a2x2axa+1=0，其判别式=a24a2(1a)0，解得17（12分）解析：设R(x,y),F(0,1), 平行四边形FARB的中心为，L:y=kx1,代入抛物线方程得x24kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1 ，C为AB的中点. ，消去k得x2=4(y+3),由 得，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )18（14分） 解析：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，则，即M（1，）（2）当a0时，假设在C上存在点满足条件设过Q的切线方程为：，代入，则，且若时，由于，
8、 或 ；若k=0时，显然也满足要求有三个点（2，），（2，）及（2，），且过这三点的法线过点P（2，a），其方程分别为：x2y22a0，x2y22a0，x2.当a0时，在C上有一个点（2，），在这点的法线过点P（2，a），其方程为：x2.19（12分）解析：（1）F（a,0）,设，由 ， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即 ，P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，由得，这是不可能的假设不成立即不存在a值，使的成等差数列20（14分）解析：【解】(1) 解方程组 得 或 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 当x=8时, OPQ的面积取到最大值30
