1、第5章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021江西抚州高一期末)已知函数f(x)=则f(-1)的值为()A.-6B.-2C.2D.3答案C解析由题设有f(-1)=f(3)=f(7)=2,故选C.2.(2020四川乐山高一期末)函数f(x)=的定义域是()A.x|x-5B.x|x2C.x|-5x2D.x|x2或x-5答案B解析要使f(x)=有意义,需满足2-x0,解得x2,即函数f(x)=的定义域为x|x2.故选B.3.(2020广东揭西河婆中学高一月考)下列函数是奇函数的为()A.y
2、=x3-x2B.y=|x-1|C.y=-3x3+xD.y=答案C解析对于A,y=f1(x)=x3-x2,定义域为R,f1(-x)=-x3-x2-f1(x),故不是奇函数;对于B,y=f2(x)=|x-1|,定义域为R,f2(-x)=|-x-1|=|x+1|-f2(x),故不是奇函数;对于C,y=f3(x)=-3x3+x,定义域为R,f3(-x)=3x3-x=-(-3x3+x)=-f3(x),故是奇函数;对于D,y=f4(x)=,定义域为R,f4(-x)=f4(x),f4(-x)-f4(x),故不是奇函数,是偶函数.故选C.4.(2021湖北高一开学考试)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数
3、,当x0)的值域为()A.2,+)B.(2,+)C.(0,+)D.(-,-22,+)答案A解析当x0时,由基本不等式可得y=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立.因此,函数y=x+(x0)的值域为2,+).故选A.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在0,+)上是增函数,则下列各式一定成立的是()A.f(2)f(-5)B.f(-5)f(0)C.f(-2)f(2)答案D解析因为f(x)是R上的偶函数,所以f(5)=f(-5),f(-2)=f(2).因为f(x)在0,+)上是增函数,所以f(2)f(0),故B错误;f(-2)=f(2)f(0),故C错误;f(-5)=f(5)f(2),
4、故D正确.故选D.7.(2020山东,8)若定义在R上的奇函数f(x)在(-,0)上是减函数,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3答案D解析不等式xf(x-1)0可化为f(2)=0,f(-2)=0.f(x)是R上的奇函数,f(0)=0.f(x)在(-,0)上是减函数,f(x)在(0,+)上也是减函数.解得1x3或-1x0,满足xf(x-1)0的x的取值范围是-1,01,3,故选D.8.(2021湖南衡阳八中高一期末)已知定义在R上的函数f(x),满足f(m+n)=f(m)+f(n)-3,且当x0
5、时,f(x)0的解集为(-1,0)D.若f(6)=-9,则f=答案D解析构造函数g(x)=f(x)-3,由f(m+n)=f(m)+f(n)-3可得,g(m+n)=g(m)+g(n).对于A,取m=n=0,可得g(0)=2g(0),g(0)=0,取n=-m,则g(0)=g(m)+g(-m)=0,g(-m)=-g(m),则函数g(x)为奇函数,g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-6=0,可得f(x)+f(-x)=6,故A正确;对于B,由已知条件可知,当x0时,g(x)=f(x)-3x2,则g(x1-x2)=g(x1)+g(-x2)=g(x1)-g(x2)0,g(x1)0,可得g(x2+2x
6、)+g(-1-x)-30,即g(x2+x-1)3=-g(1)=g(-1),x2+x-1-1,可得x2+x0,解得-1x0.故C正确;对于D,g(6)=f(6)-3=-12=g(4)+g(2)=3g(2),g(2)=-4,g(2)=2g(1)=4g=32g=-4,f-3=g=-,因此,f=,故D错误.故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021广东湛江第二中学高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+x+a-2,则()A.a=2B.f(2)=2C.f
7、(x)是增函数D.f(-3)=-12答案ACD解析对于A,f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确;对于B,f(2)=4+2=6,故B错误;对于C,当x0时,f(x)=x2+x在0,+)上为增函数,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-,0上为增函数,故f(x)是R上的增函数,故C正确;对于D,f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选ACD.10.(2021山东日照高一期末)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f=0,下列结论正确的是()A.f(0)=-B.f(-1)=-C.f(x)为R上的减函数D
8、.f(x)+为奇函数答案ABD解析令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+,则f(0)=-,故A正确;令x=,y=-,则f=f+f-+,即-=0+f-+,则f-=-1,令x=y=-,得f-=f-+f-+,即f(-1)=2f-+=-2+=-,故B正确;由于f(-1)0C.f(x)在(-2,-1)上为增函数D.y=f(x)的图象关于直线x=-1对称答案AB解析由f(-x)+f(x)=0得f(x)为奇函数,由f(1+x)=-f(1-x)得f(x)=-f(2-x)=f(x-2),故A正确;由f(1+x)+f(1-x)=0得f(x)的图象关于点(1,0)对称,故f(x)的大致图象如下,由图象可
9、得当x(-3,-2)时,f(x)0显然成立,故B正确;f(x)在(-2,-1)上不具有单调性,故C错误;y=f(x)的图象关于点(-1,0)成中心对称,不关于直线x=-1对称,故D错误.故选AB.12.(2021湖南张家界高一期末)定义一种运算:ab=设f(x)=(5+2x-x2)|x-1|,则下面结论正确的有()A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称B.函数f(x)的图象与直线y=5有三个公共点C.函数f(x)的减区间是(-,-1和1,3D.函数f(x)的最小值是2答案ACD解析由题意,f(x)=(5+2x-x2)|x-1|=作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的图象关于直线x
10、=1对称,故A正确;函数f(x)的图象与直线y=5有四个公共点,故B错误;函数f(x)的减区间是(-,-1和1,3,故C正确;函数f(x)的最小值是2,故D正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若一次函数f(x)满足f(f(x)=x+2,则f(x)=.答案x+1解析设f(x)=kx+b(k0),则f(f(x)=k(kx+b)+b=k2x+(k+1)b,故故f(x)=x+1.14.(2021江西景德镇一中高一期末)函数y=的增区间是.答案(0,2)解析由-x2+4x0解得0x4,即函数的定义域为0,4,y=-x2+4x的对称轴为x=2,开口向下,y=-x2+4x
11、在(0,2)上是增函数,则y=的增区间是(0,2).15.(2021上海大同中学高一期末)函数y=|x-1|+|x|,xa,2的最大值为3,则a的取值范围为.答案-1,2)解析当x1时,y=x-1+x=2x-1.所以函数式可化为y=函数图象如图所示.因为当xa,2时y的最大值为3,当x=-1时,y=3,当x=2时,y=3,所以由图知,a-1,2).16.(2021重庆渝中巴蜀中学高一期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+4)=f(-x),对x1,x20,2,当x1x2时,0在2 019,2 023上的解集为.答案(2 019,2 021)解析因为对x1,x20,2,当x1x2时,0
12、,当x(1,2时,f(x)0.而f(x)在x2 019,2 023上的图象与x-1,3上的图象一致,所以f(x)0在x2 019,2 023上的解集为(2 019,2 021).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021安徽繁昌第一中学高一开学考试)已知函数f(x)=.(1)判断f(x)在(0,+)上的单调性,并用定义法证明;(2)已知f(x)在1,2上的最大值为m,若正实数a,b满足ab=m,求的最小值.解(1)函数f(x)在(0,+)上是增函数.证明如下,设x1,x2为区间(0,+)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x
13、2)=x1-x2+=(x1-x2)1+.因为0x1x2,所以x1-x20,所以(x1-x2)1+0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在(0,+)上是增函数,所以函数f(x)在1,2上的最大值为f(2)=1,即m=1,所以ab=1,所以=a+b2=2,当且仅当a=b=1时,等号成立.故的最小值为2.18.(12分)(2021广西钦州高一期末)已知函数f(x)=且f(1)=5,f(2)=6.(1)求f(x)的解析式;(2)写出f(x)的增区间和减区间.解(1)由题意得,解得所以f(x)=(2)画出函数f(x)
14、的图象,如图所示.函数的减区间是(-,0,2,+),增区间是(0,2).19.(12分)(2021安徽滁州高一期末)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)函数f(x)在(0,)上是减函数,试求正实数p的最大值.解(1)函数f(x)=是奇函数,f(-x)+f(x)=0(x-a),即=0,即=0,即=0,解得a=0,f(x)=(x0).(2)由(1)得f(x)=,x(-,0)(0,+),设x1,x2为区间(0,+)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).当0x1x2时,x1-x20,x1x2-30,即f(x1)f(x2),f(x)=x+在(0
15、,)上为减函数,同理可证函数f(x)在(,+)上为增函数.函数f(x)在(0,)上为减函数,(0,)(0,),即0p3,p的最大值为3.20.(12分)(2021重庆一中高一期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,-x0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-2x)=-x2+2x.故f(x)=(2)由(1)可得g(x)=,x(0,2),令t=x+1,t(1,3),则y=.当t=时,t+min=2,又t+max4,2t+4,-4-t+-2,01时,f(x)0且f(e)=-1.(1)求f(1)的值;(2)判断函数在(0,+)上的单调性,并证明;(3)求函数f(x)在,e2上的最大值与
16、最小值.解(1)令x=y=1,则f(1)+f(1)=f(1),解得f(1)=0.(2)f(x)在(0,+)上是减函数.证明如下,设x1,x2是区间(0,+)上的任意两个值,且x11,f(y)0.得f(x1)+f=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f0,即对任意x1,x2(0,+),若x1x2,则f(x2)1时,f(x)1.(1)求f(2 021)+f的值,判断函数f(x)的单调性并加以证明;(2)当x1,3时,关于x的不等式f(kx-3)+f(x)2恒成立,求实数k的取值范围.解(1)令a=b=1,则f(1)+1=2f(1),所以f(1)=1,所以f(2 021)+f=f2 021+1=f
17、(1)+1=1+1=2.函数f(x)在(0,+)上是增函数.证明如下,设x1,x2是区间(0,+)上的任意两个值,且x11,所以f1,故f(x2)-f(x1)0,所以f(x2)f(x1),所以函数f(x)在(0,+)上是增函数.(2)因为f(a)+f(b)=f(ab)+1,所以f(kx-3)+f(x)=f(kx2-3x)+12.又因为f(1)=1,则可化为f(kx2-3x)1=f(1).由(1)知函数f(x)在(0,+)上是增函数,所以对任意的x1,3恒成立,所以k对任意的x1,3恒成立.所以kmax,记t=,1,g(t)=t2+3t,二次函数g(t)在区间,1上为增函数,所以,g(t)max=g(1)=4,所以k4.因此,实数k的取值范围是(4,+).
