1、课时提升作业(二十三)方程的根与函数的零点(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选A.由函数零点的意义可得:函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无交点.2.(2014成都高一检测)设f(x)是区间a,b上的单调函数,且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b上()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一实根【解析】选D.因为f(x)是区间a,b上的单调函数,且f(a)f(b)0,所以函数f(x)在区间a,b上的图象与x轴有唯一交点,所以函数f(x)在区间a,b上有唯一零点,方程f(x)=0在区间a,b上
2、必有唯一实根.3.函数f=的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由=0得,x2-2=0或x2-3x+2=0,解得x=或x=1,x=2,所以函数f有-,1,2共4个零点.【变式训练】函数f(x)=x-的零点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个【解析】选C.令f(x)=0,即x-=0.所以x=2.故f(x)的零点有2个.4.(2014长春高一检测)下列函数中,在区间(0,1)内有零点且单调递增的是()A.y=loxB.y=-x3C.y=2x-1D.y=x2-【解析】选D.函数y=2x-1,y=x2-在区间(0,1)上是单调递增的,y=lox,y=-x3在区间(0,1)上是单调递
3、减的.函数y=lox的零点是1,函数y=-x3的零点是0,函数y=2x-1的零点是0,函数y=x2-的零点是,其中.综上分析可知选D.5.(2014临沂高一检测)函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间()A.(5,6)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)【解题指南】解答本题时要注意logaa=1及y=log3x是增函数的应用.【解析】选B.f(3)=log33-8+23=-10.又f(x)在(0,+)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4).6.(2014上海高一检测)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0
4、,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0【解析】选B.y=2x在(1,+)上是增函数,y=在(1,+)上是增函数,所以f(x)=2x+在(1,+)上是增函数.所以y=f(x)只有x0一个零点,所以当x1x0时,f(x1)x0时,f(x2)0.故选B.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014威海高一检测)函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是.【解析】因为函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,所以(-6)2+(-6m)-6=0,解得m=5,所以f(x)=x2+5x-6,由x2+5x-6=0解得x=-6或1,所以另一个零点是1
5、.答案:18.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则loga25+b2=.【解析】由题意得方程x2-ax-b=0的两个根是2和3,所以所以a=5,b=-6,所以loga25+b2=log525+=38.答案:38【举一反三】在本题条件不变的情况下,求函数g(x)=bx2-ax-1的零点.【解析】由题意知方程x2-ax-b=0的两根分别为2和3,所以所以a=5,b=-6.所以g(x)=-6x2-5x-1,由-6x2-5x-1=0得x1=-,x2=-,所以函数g(x)的零点是-,-.9.(2014温州高一检测)根据表格中的数据,若函数f=lnx-x+2在区间(k,k+1)(kN*)内
6、有一个零点,则k的值为.x12345lnx00.691.101.391.61【解题指南】根据表中的数据,分析当x=1,2,3,4,5时lnx-x+2的符号,就可以判断在哪个区间内存在零点.【解析】f=ln1-1+2=10,f=ln2-2+2=ln2=0.690,f=ln3-3+2=1.10-1=0.100,f=ln4-4+2=1.39-2=-0.610,f=ln5-5+2=1.61-30,所以ff”“”或“=”)【解析】画出函数y=和y=2x的图象,如图所示.由图象可知,两个函数的图象交点的横坐标是负数,所以函数f=-2x的零点小于零,即x00.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.
7、判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=.(2)f(x)=x2+2x+4.(3)f(x)=2x-3.(4)f(x)=1-log3x.【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,由于=22-414=-120,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.11.(2014郑州高一检测)已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2
8、t-1)x+1-2t,(1)求证:对于任意tR,方程f(x)=1必有实数根.(2)若t,求证:方程f(x)=0在区间(-1,0)及上各有一个实数根.【解题指南】(1)求证对于任意tR,方程f(x)=1必有实数根,只需找出一个实根即可,也可以用判别式来解.(2)计算x=-1,0,时的函数值即可证明要求证的问题.【证明】(1)由f(1)=1知f(x)=1必有实数根,或由=(2t-1)2+8t=(2t+1)20得f(x)=1必有实数根.(2)函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t的图象是一条连续不断的曲线.当t0,f(0)=1-2t=20,所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及上各有一个实数
9、根.【变式训练】求证:方程x3+x2+1=0在区间上存在实数根.【证明】设f=x3+x2+1,则函数f=x3+x2+1的图象在区间上的图象是连续不断的,又因为f=+1=-30,所以ff0),则y=f()A.在区间,内均有零点B.在区间,内均无零点C.在区间内无零点,在区间内有零点D.在区间内有零点,在区间内无零点【解析】选C.函数f(x)=x-lnx的图象是一条连续不断的曲线.f=-ln=+10,f=-ln1=0,f=-lne=-10,ff0时,f(x)=lnx-2在(0,+)上是增函数,f(1)=-20,故f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.综上函数f(x)零点的个数为2.4.(2014
10、蚌埠高一检测)方程x3=3x-1的三根x1,x2,x3,其中x1x2x3,则x2所在区间为()A.(-2,-1)B.(0,1)C.D.【解析】选B.设f(x)=x3-3x+1,则函数f(x)的零点,就是方程x3=3x-1的根.因为f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-10,f(0)=03-30+1=10,f(1)=13-31+1=-10,所以函数f(x)的零点x1,x2,x3分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内,所以x2(0,1).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014漳州高一检测)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.【解析】(1)当x0时,由l
11、nx=0得lnx=ln1,故x=1.所以1是f(x)的一个零点.(2)当x0时,由2x-a=0得a=2x,由题意知方程a=2x必有一个非正实根,直线y=a与函数y=2x的图象必有一个交点,且交点纵坐标小于等于1,所以0a1.答案:0a16.(2014杭州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.【解题指南】在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x与y=-x的图象,观察交点的横坐标就是函数f(x)=3x+x的零点;画出函数y=log3x与y=-2的图象,观察交点的横坐标就是函数g(x)=log3x+2
12、的零点;画出函数y=log3x与y=-x的图象,观察交点的横坐标就是函数h(x)=log3x+x的零点.【解析】画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知abc.答案:abbc,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.(2)设x1,x2R,x1bc,所以a0,c0,即ac0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)-f(x1)+
13、f(x2)=f(x1)-f(x2),g(x2)=f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x2)-f(x1).因为g(x1)g(x2)=-f(x1)-f(x2)2,且f(x1)f(x2),所以g(x1)g(x2)0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以若方程f(x)=f(x1)+f(x2)有两个不等实根,则必有一个实根属于区间(x1,x2).【变式训练】设函数f和g在区间上的图象是连续不断的曲线且fg,求证:存在x0使f=g.【证明】要证在内存在一点x0,使f=g,即证明方程f-g=0在内有解.令F=f-g,则F在内的图象是一条连续不断的曲线.因为F=f-g0,所以FF0.所以在内存在一点x0,使F=0,即f=g.
