1、5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课后训练巩固提升A组1.若函数y=10x,则y|x=1等于()A.B.10C.10ln 10D.解析:y=10xln 10,y|x=1=10ln 10.答案:C2.已知函数f(x)=xn(nQ,且n0),且f(-1)=-4,则n等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f(x)=nxn-1,f(-1)=n(-1)n-1=-4.若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.n=4.答案:A3.已知曲线y=x3在某点处的切线的斜率等于3,则曲线在该点处的切线有()A.1条B
2、.2条C.3条D.不确定解析:由y=3x2=3,得x=1,则切点有两个,故切线有2条.答案:B4.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1B.2C.eD.解析:由已知得y=ex.根据导数的几何意义,可得切线斜率k=y|x=0=e0=1.答案:A5.曲线y=f(x)=sin x在点(0,f(0)处的切线的倾斜角是()A.B.C.D.解析:y=cos x,y|x=0=cos 0=1.设此切线的倾斜角为,则tan =1.0,),=.故选D.答案:D6.若过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为()A.B.C.D.解析:由已知得y=-.令-=-4,得x=,则点P的坐标为.故选B
3、.答案:B7.曲线y=f(x)=ln x在点(1,f(1)处切线的倾斜角为()A.1B.-C.D.解析:由y=ln x,得y=.切线的斜率k=y|x=1=1.切线的倾斜角满足tan =1.0,=.故选C.答案:C8.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135,则点P的坐标为.解析:y=-2x-3,设点P(x0,y0),则-2=tan 135=-1,解得x0=,从而y0=.故点P的坐标为().答案:()9.在曲线y=(x0)上求一点P,使得点P到直线x+2y-4=0的距离最小.解:由题意知,平行于直线x+2y-4=0的直线与曲线y=(x0)相切的切点即为所求.设切点P(x0,y
4、0),由y=-,得y=-.直线x+2y-4=0的斜率为-,-=-,解得x0=或x0=-.x0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数.证明:由y=,得y=-.所以过曲线y=上的点P(x0,y0)(x00)的切线的斜率k=y=-.所以过点P(x0,y0)的切线方程为y-y0=-(x-x0).因为y0=,所以令x=0,得y=y0+;令y=0,得x=2x0.因此过点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=2x0=2,是一个常数.B组1.若函数f(x)=logax的图象与直线y=x相切,则a的值为()A.B.C.D.解析:设切点坐标为(x0,y0).由f(x)=logax
5、,得f(x)=.根据题意有解得x0=e,a=.故选B.答案:B2.正弦曲线y=sin x上有一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.0,)C.D.解析:(sin x)=cos x,直线l的斜率kl=cos x.-1kl1.又直线倾斜角的取值范围是0,),直线l的倾斜角的范围是.故选A.答案:A3.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b=.解析:设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0.y=(ln x)=,y.由题意知,x0=2,y0=ln 2.由ln 2=2+b,得b=ln 2-1.答案:ln 2-14.已知函数f(x)=a2(
6、a为常数),g(x)=ln x,若2xf(x)+1-g(x)=1,则x=.解析:因为f(x)=0,g(x)=,所以2xf(x)+1-g(x)=2x-=1,解得x=1或x=-.又x0,所以x=1.答案:15.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.解析:由y=x2-1,得y=2x0;由y=1-x3,得y=-3.由题意得2x0=-3,即3+2x0=0.解得x0=0或x0=-.答案:0或-6.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是.解析:y=,切线方程为y-(x-a).令x=0,得y=;令y=0,得x=-a.由题意知a=2,解得
7、a=4.答案:47.设坐标平面上的抛物线C:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作抛物线C的切线l,则直线l与y轴的交点Q的坐标为.解析:显然点(a,a2)在抛物线C:y=x2上.y=2x,y|x=a=2a.直线l的方程为y-a2=2a(x-a).令x=0,得y=-a2,直线l与y轴的交点Q的坐标为(0,-a2).答案:(0,-a2)8.设曲线y=f(x)=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.解析:f(1)=n+1,曲线在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得xn=,an=lg n-l
8、g(n+1).a1+a2+a99=lg 1-lg 100=-2.答案:-29.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)在点P处的切线垂直,求点P的坐标.解:设f(x)=y=ex,则f(x)=ex,所以f(0)=1.因此曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.设g(x)=y=(x0),则g(x)=-.设点P的坐标为(xP,yP),且xP0.由题意可得g(xP)=-=-1,解得xP=1,则yP=1.所以点P的坐标为(1,1).10.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点.试在抛物线的弧AB上求一点P,使ABP的面积最大.解:|AB|为定值,三角形面积最大,只需点P到边AB的距离最大.点P是平行于边AB的直线与抛物线相切的切点.设点P(x0,y0),作出抛物线的大致图象,如下图,知点P在x轴上方的图象上,即点P在y=上,y=.又kAB=,解得x0=1,y0=1.因此点P(1,1).
