1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(2016北京海淀区模拟)函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是()A.(0，1)B.(1，)C.(，1)D.(1，1)解析 f(x)2x2x2（x1）（x1）x(x0).当 x(0，1)时 f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数.答案 A2.函数 yxex 的最小值是()A.1 B.e C.1eD.不存在解析 yexxex(1x)ex，令 y0，则 x1，因为 x1 时，y0，x1 时，y0，所以 x1 时，ymin1e.答案 C3.已知函数 yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数 yf(
2、x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析 由 yf(x)的图像知，yf(x)在1，1上为增函数，且在区间(1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B4.对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有()A.f(x)f(a)B.f(x)f(a)C.f(x)f(a)D.f(x)a 时，f(x)0；当 xa 时，f(x)0.当 xa 时，函数 f(x)取得最小值，则 f(x)f(a).答案 A5.(2016江西师大附中月考)若函数 f(x)x3tx23x 在区间1，4上单调递减，则实数 t 的取值范围是()A.，518B.(，3C.518
3、，D.3，)解析 f(x)3x22tx3，由于 f(x)在区间1，4上单调递减，则有 f(x)0 在1，4上恒成立，即 3x22tx30，即 t32x1x 在1，4上恒成立.因为 y32x1x 在1，4上单调递增，所以 t32414 518.答案 C二、填空题6.(2016九江模拟)函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是_.解析 函数 f(x)(x3)ex 的导数为 f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.f(x)(x2)ex0，解得 x2.答案(2，)7.(2016西安模拟)已知 f(x)x33ax2bxa2 在 x1 时有极值 0，则 ab_.解析 由题意得 f(x)3x2
4、6axb，则 a23ab10，b6a30，解得a1，b3或a2，b9，经检验当 a1，b3 时，函数 f(x)在 x1 处无法取得极值，而 a2，b9满足题意，故 ab7.答案 78.设函数 f(x)x3x222x5，若对任意的 x1，2，都有 f(x)a，则实数 a的取值范围是_.解析 f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 3x2x20，解得 x1 或 x23，又 f(1)72，f23 15727，f(1)112，故 f(x)min72，a72.答案，72三、解答题9.(2015安徽卷)已知函数 f(x)ax（xr）2(a0，r0).(1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性；(
5、2)若ar400，求 f(x)在(0，)内的极值.解(1)由题意知 xr，所求的定义域为(，r)(r，).f(x)ax（xr）2axx22rxr2，f(x)a（x22rxr2）ax（2x2r）（x22rxr2）2a（rx）（xr）（xr）4，所以当 xr 或 xr 时，f(x)0；当rxr 时，f(x)0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r).(2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减.因此，xr 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r)ar（2r）2 a4r4004
6、100.10.设函数 f(x)aln xbx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切.(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值.解(1)f(x)ax2bx(x0)，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f（1）a2b0，f（1）b12，解得a1，b12.(2)f(x)ln x12x2，f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 1xe,f(x)在1e，1 上单调递增，在1，e上单调递减，f(x)maxf(1)12.能力提升题组(建议用时：40 分钟)11.(2015安徽卷)函数 f(x)ax3
7、bx2cxd 的图像如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，c0，d0 B.a0，b0，c0，d0C.a0，b0，c0，d0 D.a0，b0，c0，d0解析 函数 f(x)的图像在 y 轴上的截距为正值，d0，f(x)3ax22bxc，且函数 f(x)ax3bx2cxd 在(，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，)上单调递增，f(x)0 的解集为(x1，x2)，a0，又 x1，x2均为正数，c3a0，2b3a0，可得 c0，b0.答案 A12.(2016衡水中学月考)已知 f(x)是可导的函数，且 f(x)f(x)对于 xR 恒成立，则()A.f(1)e2 016f(0
8、)B.f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)C.f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)D.f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0)解析 令 g(x)f（x）ex，则 g(x)f（x）exf（x）exf（x）（ex）e2xf（x）f（x）ex0，所以函数 g(x)f（x）ex在 R 上是单调减函数，所以 g(1)g(0)，g(2 016)g(0)，即f（1）e1f（0）1，f（2 016）e2 016f（0）1，故 f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0).答案 D13.若函数 f(x)13x312x22ax 在23，上存在单调
9、递增区间，则 a 的取值范围是_.解析 对 f(x)求导，得 f(x)x2x2ax122142a.当 x23，时，f(x)的最大值为 f23 292a.令292a0，解得 a19.所以 a 的取值范围是19，.答案 19，14.设函数 f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k12，1 时，求函数 f(x)在0，k上的最大值 M.解(1)当 k1 时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2).令 f(x)0，得 x10，x2ln 2.当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，ln 2)l
10、n 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，).(2)f(x)ex(x1)ex2kxx(ex2k)，12k1，12k2，由(1)可知 f(x)在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，)上单调递增.设 g(x)xln 2x12x1，则 g(x)1 22x11x，12x1，11x2，111x0，g(x)xln 2x 在12，1 上单调递减，12g(1)1ln 20，kln 2k0 即 kln 2k，f(x)在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，k)上单调递增，f(x)在0，k上的最大值应在端点处取得.而 f(0)1，f(k)(k1)ekk3，下面比较 f(0)与 f(k)的大小.令 h(k)f(k)f(0)(k1)ekk31，则 h(k)k(ek3k)，再令(k)ek3k，则(k)ek3e30，(k)在12，1 上递减，而 12(1)e32(e3)0，当 k(x0，1)时，(k)0，h(1)0.h(k)0 在12，1 上恒成立，当且仅当 k1 时取“”.综上，函数 f(x)在0，k上的最大值 M(k1)ekk3.
