1、重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三数学下学期3月月考试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合Ax|x29，B3，2，1，0，1，2，则AB（ ）A. 0，1，2B. 1，0，1，2C. 2，1，0，1，2D. 2，1，0【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】Ax|3x3，B3，2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设（1+i）（a+bi）2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|（ ）A
2、. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得，由此求得，进而求得.【详解】由题意可知：，a1，b1，3a+bi3i，|3a+bi|3i|，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a2+16，则log2a9（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得以及的值.【详解】数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a2+16，2q222q+16，且q0，解得q4，log2
3、a917.故选：C.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.若实数x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】画出可行域，结合图像判断出经过时取得最小值.【详解】由题意作平面区域如下，由解得，A（4，2），zx+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值.故zx+y的最小值是6，故选：B.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏
4、、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p.故选：B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计
5、算，属于基础题.6.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得，根据面面平行的性质得到，由此求得的比值.【详解】四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，EFBD1，平面ADD1A1平面BCC1B1，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，AFBG，.故选：B.【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.
6、在直角坐标系xOy中，半径为m的C在t0时圆心C与原点O重合，C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令ycosx，则y关于时间t（0tl，单位：s）的函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】根据题意，C的半径为，则其周长l2，当t0时，C被y轴所截的左方圆弧长记为x，此时ycos1；当t时，C被y轴所截的左方圆弧长记为x，此时ycos0；当t1时，C被y轴所截的左方圆弧长记为x2，此时ycos21；据此排除BCD；故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查数形结合的数学
7、思想方法，属于基础题.8.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（ ）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数.【详解】的展开式中，各二项式系数和为2n32，n5.再令x1，可得各项系数和为（m+1）524335，m2，则展开式中的通项公式为Tr+1m5r，令53，可得r4，故展开式中x3系数为210，故选：D.【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项系数，属于基础题.9.设函数f（x）cos（x
8、+）（xR）（0，0）的部分图象如图所示，如果，x1x2，且f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据周期求得，根据求得，由此求得解析式.根据求得，由此求得的值.【详解】根据函数f（x）cos（x+）（xR）（0，0）的部分图象，可得，2.再根据五点法作图可得2，f（x）cos（2x）.如果，x1x2，则2x1（，），2x2（，），f（x1）f（x2），2x1（2x2）0，x1+x2，则f（x1+x2）cos（）coscos，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题.10.已知三
9、棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，ABC是边长为6的等边三角形，记ABC的外心为O1.若三棱锥PABC的体积为则PO1（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取得等边三角形的面积，利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，根据三棱锥的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得.【详解】由题意可得：SABC9，O1A2，O1O2.设点P到平面BAC的高为h，由h9，解得h4.点P所在小圆O2（O1与O2所在平面平行）上运动，OO22.O2P2.PO12.故选：D.【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.设双曲线的左顶点为A，右焦
10、点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2a2与直线bxay0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，根据以为圆心的圆与线段相切，且切点为的中点，得到，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】联立.E（，），依题意可知OEOF，4a4c4.故选：B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.函数f（x），若关于x的方程f2（x）af（x）+aa20有四个
11、不等的实数根，则a的取值范围是（ ）A. B. （，1）1，+）C. （，1）1D. （1，0）1【答案】D【解析】【分析】利用的导函数判断出的单调区间，由此画出的大致图像，令，对的取值进行分类讨论，结合的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】当x0时，所以当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，f（x）单调递减，且f（0）0，当x+时，f（x）0，当x0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令tf（x），则由上图可知当t0或1时，方程tf（x）有两个实根；当t（0，1）时，方程tf（x）有3个实数根；当t（，0）（1，+
12、）时，方程tf（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）af（x）+aa20有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2at+aa20有两个实数根t10，t21或t1（0，1），t2（，0）（1，+），当t10，t21时，a1，当t1（0，1），t2（，0）（1，+）时，（02a0+aa2）（12a1+aa2）0，解得1a0，综上所述，a（1，0）1.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与的夹角为120，且，则_.【答案】5【解析】【分析】
13、利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出.【详解】因为向量与的夹角为120，且，所以：|；则cos12010（）；故答案为：.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.14.已知函数f（x）3|xa|（aR）满足f（x）f（4x），则实数a的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据判断出的对称轴，由此求得的值.【详解】f（x）f（4x），函数关于x2对称，即f（a）f（4a），即3|aa|3|4aa|，即303|42a|即|42a|0，得2a40，得a2，故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15.设各项均为正数的数列的前项和满足，
14、则数列的前2020项和_.【答案】【解析】【分析】因为，当时，可得.由,可得，求得，即可求得，结合已知，即可求得答案.【详解】当时，解得：或数列为正数，由即，当时，两式相减得：当，满足可得：当，故答案为：.【点睛】本题主要考查了求数列前和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.设抛物线y22x的焦点为F，准线为，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|3|BF|，则|FP|MQ|_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义以及结合平面几何知识，求得和的长，由此求得.【详解】如图，作BFl于F，作AEl于E，令准线与
15、x轴交点为S，AB交准线于K.设BHm，则AF3m，BK2m则sinHKB，HKB30.，|FK|2.|QM|MK|tan304mtan30.则|FP|MQ|.故答案为：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：（共70分）17.在中，角的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若，且边上的高为，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）因为，由正弦定理可得：结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，则，结合余弦定理，即可求得答案.【详解】（1）由正弦定理可得：，又故（2）画出图象，如图：则又在中，由余弦定理可得可得的周长为【点睛】本题
16、主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE2EB2，且DEAB.以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点F的位置，且FEB60.（1）求证：平面BFC平面BCDE；（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角EDFC的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先通过证明平面证得.结合余弦定理和勾股定理证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，由直线与平面所成角的正切值求得正弦值，结合直线的方向向量和平面
17、的法向量列方程，解方程求得的长.由此通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其正弦值.【详解】（1）证明：DEAB，DEEB，DEEF，DE平面BEF，DEBF，AE2EB2，EF2，EB1，FEB60，由余弦定理得BF，EF2EB2+BF2，FBEB，由得BF平面BCDE，平面BFC平面BCDE.（2）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，设DEa，则D（1，a，0），F（0，0，），（1，a，），直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，平面BCDE的法向量（0，0，1），|
18、cos|，解得a2，D（1，2，0），C（2，2，0），（0，2，0），（1，2，），设平面EDF的法向量（x，y，z），则，取z1，得（），同理得平面DFC的一个法向量（0，2），cos，二面角EDFC的正弦值为sin.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线
19、正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（，2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（3，+3）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.9510.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得xi9.96，s0.19；其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i1，2，20.用样本平均数作为的估计值，用
20、样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（3，+3）之外的药品件数，求P（X1）及X的数学期望.附：若随机变量Z服从正态分布N（，2），则P（3Z+3）0.9974，0.9974190.95.【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P（X1）0.0494；E（X）0.052【解析】【分析】（1）根据题目所给数据得到，由此求得，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出，以及求得的数学期望.【详解】（1）由9.96，s0.19.可
21、得：9.96，0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为0.0026，故XB（20，0.0026），P（X1）0.9974190.00260.0494.X的数学期望E（X）200.00260.052.【点睛】本小题主要考查原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点.ABF2的周长为，且椭圆的离心率为.
22、（1）求椭圆C的标准方程：（2）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）xy+10【解析】【分析】（1）根据三角形的周长求得，结合椭圆离心率和求得的值，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线的方程求得，通过直线的方程求得，由此求得的表达式并进行化简，对进行分类讨论，由此求得的最小值以及此时直线的方程.【详解】（1）由题意可得：4a，a，c1，b2a2c21，椭圆C方程为：；（2）点P（0，1），F1（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB
23、与x轴不重合，设直线AB的方程为：xmy1，则可知m1，联立方程，消去y得：（m2+2）y22my10，直线PA的方程为：（y1+1）xx1yx10，可得，同理，|MN|3|3，当m0时，|MN|6，当m0时，|MN|，由于m（，2）2，+），则，此时|MN|的最小值为6，在m1处取得，综上所述，当|MN|最小时，直线AB的方程为：xy1，即xy+10.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数f（x）eaxx1，且f（x）0.（1）求a；（2）在函数f（x）的图象
24、上取定两点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a1（2）存在；【解析】【分析】（1）当时，判断出不恒成立.当时，利用导数求得的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得的值.（2）首先求得的表达式，构造函数，由，结合零点存在性定理，判断出存在，并求得的值.【详解】（1）若a0，则对一切x0，f（x）eaxx10，不符合题意，若a0，f（x）aeax1，令f（x）aeax10可得x，当x时，f（x）0，函数f（x
25、）单调递减，当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增，故当x时，函数取得最小值f（），由题意可得，有0，令g（t）ttlnt1，则g（t）lnt，当0t1时，g（t）0，g（t）单调递增，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，故当t1时，g（t）取得最大值g（1）0，当且仅当1即a1时成立，综上a1；（2）由题意可知，k1，令t（x）f（x）kex，则可知yt（x）在x1，x2上单调递增，且t（x1）（x2x1）1，t（x2）e（x1x2）1，由（1）可知f（x）exx10，x0时取等号，（x2x1）10，e（x1x2）10，t（x1）0，t（x2）0，由零点判定定理可得，存在x0（x1，x
26、2），使得t（x0）0且由解得，综上可得，存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查零点存在性定理的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点.（1）若点
27、P的极坐标为（2，），求|PM|PN|的值；（2）求曲线C的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线的直角坐标方程.求得的直角坐标，由此判断在直线上，求得直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得的值.（2）求得椭圆内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，转换为直角坐标方程为.点P的极坐标为（2，），转换为直角坐标为（2，0）由于点P（2，0）在直线l上，所以直线l参数方程为（t为参数），
28、转化为（t为参数），所以代入曲线的方程为，整理得，所以|PM|PN|t1t2|4.（2）不妨设Q（），（），所以该矩形的周长为4（）16sin（）.当时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数f（x）x|xa|，aR.（1）当f（2）+f（2）4时，求a的取值范围；（2）若a0，x，y（，a，不等式f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）（，1）（2）0a6【解析】【分析】（1）化简不等式得到，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得
29、的取值范围.（2）将不等式恒成立，转化为.求得的最大值以及的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）f（2）+f（2）4，可得2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2，则或或，解得a2或2a1或a，则a范围是（，1）；（2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为f（x）max（|y+3|+|ya|）min，其中当x，y（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|a+3|a+3，当且仅当3ya取得等号，而f（x）x（xa）（x）2，当且仅当xa时取得等号.所以a+3，解得0a6.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
