1、第14讲：比值代换法 比值代换是处理双变量问题的重要利器，通过比值代换，将双变量问题转化为单变量问题来处理.1在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围；（2）处理好相关函数的分析(单调性、奇偶性等)，以备使用2 若多元不等式是一个轮换对称式(一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式)，则可对变量进行定序3 证明多元不等式常用的方法有两种：（1）消元：利用条件代入消元；不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函教，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式，利用函数
2、的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法例1.已知函数.（1）若存在单调减区间，求a的取值范围；（2）若为的两个不同极值点，证明：.解析：（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，且当时，单调递增；时，单调递减；（2）由是的不同极值点，知是两根(设)即，联立可得：要证，即证，即由可得令，问题转化为证明成立(*)在上单调递增，(*)成立，得证.2. 已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数存在两个零点，证明：解析：（1）函数定义域是，由题意，当时，递增，当时，递减，所以时，取得唯一的极大值也是最大值（2）由（1），即时，有两个零点，（），则，由，得，令，则，显然成立，
3、要证，即证，只要证，即证，（），令，令，则，令，令，时，是减函数，所以时，所以是减函数，即（），所以是减函数，所以，在时是减函数，即，所以在上是减函数，所以，即，综上，成立3. 已知函数.（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，证明：.解析：（1），当时，由于，故，所以在内单调递减，无极值；当时，由，得，在上，在上，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）函数有两个零点，不妨设，由（1）得，且，则，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得.4 已知函数（1
4、）求的图象在处的切线方程；（2）若函数有两个不同的零点、，证明：解析：（1），定义域为，.因此，函数的图象在处的切线方程为，即；（2）令，得，由题意可得，两式相加得，两式相减得，设，可得，要证，即证，即，令，即证.构造函数，其中，所以，函数在区间上单调递增.当时，所以，.因此，.本题考查不等式的变形，对于不等式而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以，结果为或者，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特征，所以分子、分母同除以，结来为或者 ，进而将不等式转化为以为核心的不等式本题进行了两次整体换元，第一次减少了变量个数，第二次简化了表达式5已知函数（1）若函数在上是增函数
5、，求实数的取值范围；（2）如果函数恰有两个不同的极值点，求证：解析：（1）因为在上是增函数，所以(注意： 单调递增导函数值），所以设，则令 ，解得，故在上单调递减，在上单调递增所以，所以 （2） 根据条件，则-2因为是极值点，所以，两式相减得所证不等式等价于，设两边同除以得(此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以使得多项呈的形式，从而考虑换元来减少变量个数)令，所证不等式只需证明：设，则易证，所以，因此在上单调递减，所以原不等式成立，即解答本题第(2)问时，首先用好极值点的条件，利用导数值等于的等式消去，进而使所证不等式变量个数减少最大的亮点在于对的处理，此时对数部
6、分无法再做变形，两边取指数，而后同除以，使得不等式的左、右都是以为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式6已知函数（1）函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：解析：（1）设，根据条件，所以即只需证明：由方程得所以，所以只需证明，即令，则，所以只需证明不等式：设则，因此，所以在上单调递增，因此因此在上单调递增，因此，即不等式得证，所以，即，所以 现在再换另一种思路和方法参照前面例题的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数值的不等式进行证明由（1）可知在构造的函数中，有，且在上单调递减，在上单调递增，所以考虑使用来进行转换，所证不等式，通过（1）中的数形结合可知，从而有，所以所证不等式转化为，即，转化为关于的一元不等式，再构造函数证明即可所证不等式因为有两个不同零点，所以以满足方程 由（1）知设，所以由(1)知在上单调递减，在上单调递增因为，所以，结合的单调性，只需证明即可因为，所以只需证明即证明设，则，则因此，则因为单调递减，所以因此单调递减，所以即单调递减，所以即得证，因为得证，从而有
