1、第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数基础认知自主学习 1正整数指数函数及指数型函数正整数指数函数指数型函数条件a0且a1自变量x定义域正整数集N实数集R解析式_，kRyaxykax正整数指数函数有何特征？提示：系数：ax的系数必须是 1.底数：a 是大于 0 不等于 1 的常数指数：单个 x 在指数位置上定义域：正整数集 N.2正整数指数函数的图像(1)正整数指数函数的图像是由第一象限内的一些_构成的，是离散而不是连续的(2)分布规律：当0a1时，自左向右这些孤立的点是上升的孤立的点1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数 y1x，y4x，y(8)x 都不是正整数指数函数()提
2、示：三个函数都不符合正整数指数函数的表示形式(2)函数 y73x(xN)的图像是一系列上升的点()提示：底数大于 1，所以函数是递增的(3)函数 y(a23a3)ax(xN)是正整数指数函数，则 a1 或 a2.()提示：由题意知a23a31，a0且a1.所以 a2.2已知函数 yax(a0，a1，xN)在1，3上的最大值为 8，则 a 的值是_【解析】由题意知 a1，且 a38，解得 a2.答案：23(教材二次开发：P62 例题)某细胞在培养过程中，每 15 分钟分裂一次(由 1 个分裂成 2 个)，经过两个小时，1 个这样的细胞可以分裂成_个细胞【解析】2 小时共分裂 8 次，所以共分裂成
3、 28 个答案：28(或 256)能力形成合作探究类型一 正整数指数函数的定义(数学抽象)1下列函数中是正整数指数函数的是()Ay10 x1(xN)By(2)x(xN)Cy52x(xN)Dy13x(xN)【解析】选 D.A 中 y10 x1 的指数为 x1，而不是 x，故不是正整数指数函数；B 中 y(2)x 的底数20，且 a1)，得169 a2，所以 a43，y43x，xN.答案：y43x，xN 判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤一看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为 1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为 1，指数位置仅为 x；二看定义域：x 的取值为全体正整数以上同时满足，函
4、数就是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数提醒：注意正整数指数函数 yax(a0，a1，xN)与幂函数 yxa 的区别【补偿训练】下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？为什么？(1)y4x(xN).(2)yx4(xN).(3)y4x(xN).(4)y(4)x(xN).(5)yxx(xN).(6)y(2a1)xa12，a1，xN.【解析】(1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数指数函数的定义(2)为幂函数(3)中函数的系数为1，不符合正整数指数函数的定义(4)中函数的底数 a40，不符合正整数指数函数的定义(5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指数函数
5、的定义类型二 正整数指数函数的图像与性质(逻辑推理、直观想象)【典例】1.正整数指数函数 y(a1)x(xN)的值总大于 1，则实数 a 的取值范围是()A1a2 Ba1 Da2【思路导引】根据函数图像与直线 y1 的关系，求出参数的范围【解析】选 D.在 y(a1)x 中，因为 xN时，y1，则必有 a11，所以 a2.2已知 0a0，a1，xN)在1，3上是增加的，且最大值与最小值的差为 a，则 a_【解析】因为 f(x)在1，3上是增加的，所以 a1，所以 f(x)minf(1)a，f(x)maxf(3)a3.所以 a3aa，即 a(a22)0.又因为 a0，且 a1，所以 a 2.答案
6、：2类型三 正整数指数函数的应用(数学建模)角度 1 正整数指数函数在生活中的应用【典例】已知每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全覆盖池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了()A10 天 B15 天 C19 天 D20 天【思路导引】设荷叶覆盖水面初始面积为 a，根据每天覆盖面积是前一天的 2 倍，20 天完全覆盖水面，列出方程求解即可【解析】选 C.设荷叶覆盖水面的初始面积为 a，设 x 天后荷叶覆盖水面的一半，因为每天荷叶覆盖水面的面积是前一天的 2 倍，所以 x 天后荷叶覆盖水面的面积为 a2x(xN)，又因为荷叶 20 天可以完全覆盖池塘水
7、面，所以 2(a2x)a220，解得 x19.角度 2 正整数指数函数在放射性问题中的应用【典例】已知镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 20 克的镭经过 x百年后剩留量为 y 克(其中 xN)，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出经过 1 000年后镭的质量【思路导引】由每一百年后剩留原来质量的 95.76%，列出函数关系式【解析】镭原来质量为 20 克，100 年后镭的质量为 2095.76%(克)，200 年后镭的质量为 20(95.76%)2(克)，300 年后镭的质量为 20(95.76%)3(克)，x 百年后镭的质量为 20(95.76%)x，所以 y
8、与 x 之间的函数关系式为：y20(95.76%)x(xN)，所以经过 1 000 年(即 x10)后镭的质量为y20(95.76%)10(克).本例条件不变，大约经过多少年镭的质量为原来的 80%?【解析】设原来质量为 1，经 x 年剩留质量为 y，则 y(95.76%)100 x，列 x 与 y 的对应值表x200300400500600y0.917 00.878 10.840 90.805 20.771 1观察表中数据 y0.8 时对应的 x500，即大约经过 500 年镭的质量为原来的 80%.实际生活中正整数指数函数的应用(1)正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问
9、题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关(2)求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题1一个工厂计划 2020 年起，年产值在 10 年内翻两番，则其年平均增长率是()A 410 B10 4 C10 4 1 D10 2 1【解析】选 C.设 2019 年底的总产量为 a，年平均增长率为 x，则 4aa(1x)10，所以(1x)104，所以 x10 4 1(负值舍去).2某林区 2019 年木材蓄积量为 200 万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到 5%.(1)若经过
10、 x 年后，该林区的木材蓄积量为 y 万立方米，求 yf(x)的关系式，并求此函数的定义域(2)作出函数 yf(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万立方米【解析】(1)现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木材蓄积量为 2002005%200(15%)；经过 2 年后木材蓄积量为 200(15%)200(15%)5%200(15%)2，所以经过 x 年后木材蓄积量为 200(15%)x.所以 yf(x)200(15%)x(xN).(2)作函数 yf(x)200(15%)x(x0)的图像，如图所示设直线 y300 与函数 y200(15%)x的图
11、像交于 A 点，则 A(x0，300)，A 点的横坐标 x0 的值就是 y300 时(木材蓄积量为 300 万立方米时)所经过的年数 x 的值因为 8x00，a1，xN).A0 个 B1 个 C2 个 D3 个学情诊断课堂测评【解析】选 D.由正整数指数函数定义知错误，正确，故选 D.2已知正整数指数函数 f(x)(a2)ax，则 f(2)()A2 B3 C9 D16【解析】选 C.因为 f(x)是正整数指数函数，所以a21，a0且a1，所以 a3，f(x)3x，所以 f(2)329.3函数 y38x，xN是()A奇函数 B偶函数C增函数 D减函数【解析】选 D.因为 038 1，当 xN且由小变大时，函数值由大变小，所以为减函数4(教材例题改编)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，若要使存留污垢不超过原来的 1%，则至少要漂洗_次【解析】函数关系式为 y14x(xN)，x 为漂洗次数，y 表示存留污垢量令14x1%，得 4x100.因为 4364100，44256100，所以当 x4 时，4x100，故至少要漂洗 4 次答案：4
