1、3.2一、选择题1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60D90答案C解析l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，cosa，b，a，b60.2(08全国)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B. C D.答案C解析如图，设棱长为1，()()，|，cos，故选C.3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析解法一：，()(
2、).而|.同理，|.如令为所求角，则cos.应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.cos.4把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A(0，90) B90C120 D(60，120)答案C解析()，()，()|2.又|，cos，.EOF120，故选C.5把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶
3、点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30答案C解析翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.答案D解析解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则MGF即为所求设正方体棱长为1，MF，GF，sinMGF.解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易
4、知平面ACC1A1的一个法向量为n(1,1,0)，F(，0,0)，G(1,1，)，设直线FG与平面A1ACC1所成角，则sin|cosn，|.7从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角BPAC的余弦值是()A. B. C. D.答案B解析在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OEPA，OFPA交PB，PB于EF，连接E、F，则EOF即为所求二面角的平面角在EOF中可求得cosEOF.8在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为()A30 B45 C60 D90答案C二、填空题9如图，在正三棱柱AB
5、CA1B1C1中，已知AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_答案解析解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DNBM，则容易证明DN平面AA1C1C.连结AN，则DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角在RtDAN中，sinDAN.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OBAC，OE平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BMAB，A，B，D，又平面AA1C1C的法向量为e(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为，则sin|cos，e|.解法三：设a，b，c，由条
6、件知ab，ac0，bc0，又cb，平面AA1C1C的法向量(ab)设直线BD与平面AA1C1C成角为，则sin|cos，|，(cb)(ab)acabbc|b|2.|2(cb)2|c|2|b|22bc2，|，|2(ab)2(|a|2|b|22ab)，|，sin.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为_答案30解析解法一：连结BC1，设与B1C交于O点，连结A1O.BC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1.BC1平面A1B1C，A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在RtA1OB
7、中，A1B，BO，sinOA1B.OA1B30.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)(1,0,1)，(0,1,0)设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z)则令z1得x1.n(1,0，1)，又B(1,1,0)，(0,1，1)，cosn，.n，60，所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30.11如图所示，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，则SC与平面ABCD所成的角的大小为_答案arccos解析是平面A
8、BCD的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos.arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为arccos.三、解答题12在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0，0,2)，E(0，1)，(，1,0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos，AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N(x,0，z)，则(x，
9、1z)，由NE平面PAC可得，即化简得.，即N点的坐标为(，0,1)13在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值解析以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，1)，F(，1,1)设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(2,1,1)显然平面ABCD的法向量e(0,0,1)，则cosn，e.设二面角为，则cos，tan.14如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PA
10、D内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论；(3)求DB与平面DEF所成角的大小解析以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、F(，)、P(0,0，a)(1)(，0，)(0，a,0)0，EFDC.(2)设G(x,0，z)，则G平面PAD.(x，z)，(x，z)(a,0,0)a(x)0，x；(x，z)(0，a，a)a(z)0，z0.G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点(3)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)由得，即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)co
11、s，DB与平面DEF所成角大小为arccos.15(2010湖南理，18)如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则s
12、in.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.解法二：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形
13、ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.点评本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力
