1、4.3.2 空间两点间的距离公式 空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=_.222121212xxyyzz（）(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=_.222xyz【思考】在空间两点间的距离公式中,两个点坐标的前后顺序 能不能改变?提示:能.空间中两点间的距离公式也可以写成|P1P2|=.222212121xxyyzz【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)用空间两点间的距离公式不能求平面内两点的距离.()提示:.平面内两点间的距离是空间两点间距离的特例,可以用空间两点间的距离公式求
2、平面内两点的距离.2.空间直角坐标系中,设A(1,3,0),B(-3,6,12),则|AB|=()A.B.13 C.5 D.25【解析】选B.|AB|=13.2223 163120 133.已知空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间的距离为 ,则z=()A.2 B.0或2 C.0 D.2或1【解析】选B.由于空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间 的距离为 ,即 则(z-1)2=1,解得z=0或2.11112221 22 1z 111，4.已知点P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面xOy内的投影 分别是P,Q,则|PQ|=_.【解析】因为点P(1,2,3),Q(-
3、3,5,2),它们在面xOy内 的投影分别是P,Q,所以P(1,2,0),Q(-3,5,0),|PQ|=5.答案:5 2221 32500（）（）（）类型一 求空间两点间的距离【典例】1.设A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()13535353A.B.C.D.24222.在空间直角坐标系中,点M(2,-1,3),若点A与点M关于xOy平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|=()A.2 B.4 C.2 D.3 57【思维引】1.先求出中点坐标,再利用距离公式求距离.2.先求出相应的对称点,再利用距离公式求距离.【解析】1.选D.因为A(
4、1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),所以线段AB的中点P ,所以点P到点C的距离为|PC|=3(23)2，22235302(1)0322（）2.选A.因为点M(2,-1,3)关于平面xOy的对称点为A,它 的横坐标与纵坐标不变,竖坐标相反,所以A(2,-1,-3);点M(2,-1,3)关于x轴的对称点为B,它的横坐标不变,纵 坐标相反,竖坐标相反,所以B(2,1,-3),所以|AB|=2.222221 133 （）（）（）【内化悟】应用空间中两点间的距离公式时需要注意什么问题?提示:注意前后的坐标作差要准确.【类题通】关于空间两点间的距离公式 求空间两点间的距离问题就是把点的坐
5、标代入距离公式进行计算,若点的坐标中含有未知数,则代入距离公式后列出方程求根.【习练破】1.空间中两点A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2)之间的距离 是()A.3 B.4 C.5 D.6 2【解析】选B.因为A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2),所以 A,B两点之间的距离 d=4.22221 11 122 22 （）（）（）2.一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收,那么光所走的距离是()【解析】选D.由题意,P(1,1,1)关于平面xOy的对称点 为M(1,1,-1),则|QM|=A.37 B.33 C.47 D.572223 13
6、16 157.（）（）（）【加练固】在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),则ABC为()A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形【解析】选B.因为在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),所以|AB|=|AC|=|BC|=2221041 1697 （）（）（），222244 1397（）（）（），2221021 4637 2 ，所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以ABC为等腰直角三角形.类型二 空间几何体中的距离【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1
7、中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度.【思维引】先建立空间直角坐标系,确定点M,N的坐标,利用距离公式求距离.【解析】如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),因为N为CD1的中点,所以N .因为M是A1C1的三等分点且靠近A1点,所以 M(1,1,2).由两点间距离公式,得|MN|=3(3 1)2，222321(1)(3 1
8、)(12).22 【内化悟】如果建立的坐标系不一样,点的坐标一样吗?求出的距离一样吗?提示:坐标不一样,距离一样.【类题通】关于图形中的距离问题 若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般按如下的步骤:【习练破】已知正方形ABCD的边长为2,PA平面ABCD,且PA=2,E是PD中点.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则|CE|=_.【解析】因为正方形ABCD的边长为2,PA平面ABCD,且|PA|=2,E是PD中点.所以C(2,2,0),E(0,1,1),所以|CE|=答案:222202 10 166【加练固】如图,在空间直
9、角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为()21A.2a B.a Ca D.a22【解析】选B.由题意得F ,A1(a,0,a),C(0,a,0),所以E ,所以|EF|=a(a0)2，a a a()2 2 2，222aaaa2(a)()(0)a.22222 类型三 空间中两点间距离公式的应用 角度1 求点的坐标【典例】(2019随州高一检测)空间直角坐标系Oxyz中,在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为_.世纪金榜导学号 【思维引】根据z轴上点的坐标特点,设出C点的坐标,利用距离公式求值.【解析】设所
10、求点C(0,0,z),因为点C与点A(-4,1,7)和 点B(3,5,-2)等距离,所以 解得z=.答案:222417z（）（）22230502z ，14914(0 0)9，【素养探】在利用距离公式求点的坐标时,常常用到核心素养中的数学运算,解决与距离相关的问题.本例的条件不变,试求y轴上的点D,使|AD|=|BD|.【解析】设点D(0,y,0),因为|AD|=|BD|,所以 解得y=-,所以D .22222241y735y2（），727(0,0)2角度2 与距离有关的最值【典例】已知 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),则|AB|的最小值为_.世纪金榜导学号 【思维引】利用距
11、离公式表示出|AB|,通过配方求最值.【解析】因为A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),所以|AB|=所以当a=-1时,|AB|取最小值 答案:3 22222a17a255a10a59 （）25 a154，54 3 66【类题通】1.求未知点的坐标 设出点的坐标,利用距离公式列出方程,解方程求出点的坐标即可.2.关于空间中距离的最值问题 利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【延伸练】已知A(3,0,1),B(1,1,2),则到A,
12、B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件为()A.2x+y-z=0 B.x+y-2z=0 C.x+y-z+3=0 D.2x-y-z-2=0【解析】选D.因为点P(x,y,z)到A(3,0,1),B(1,1,2)两点的距离相等,所以(x-3)2+(y-0)2+(z-1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2,整理得2x-y-z-2=0.【习练破】已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4)且|AB|=2 ,则实数x的值是()A.6或-2 B.-6或2 C.3或-4 D.-3或4 6【解析】选A.由题意 化简得(x-2)2=16,解得x=6或x=-2.222x21 3242
13、6,（）【加练固】在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点M,使MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得 显然,此式对任意yR恒成立.这就是 说,y轴上所有的点都满足|MA|=|MB|.2223y1 2221y3,(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使MAB为等边三角形.由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得MAB是等边三角形.因为|MA|=|AB|=2222300y1 010y,2221 3003 120,于是 解得y=,故在y轴上存在点M,使MAB为等边三角形,点M的坐标 为(0,0)或(0,-,0).210y20,101010
