1、西藏昌都市第一高级中学2021届高三数学入学考试试题一、单选题1已知全集，集合，则（ ）ABCD2已知是虚数单位，复数满足，则（ ）AB2C1D3设等差数列的前项和为，若，则公差等于（ ）A0B1CD4在各项均为正数的等比数列中，,，则的值为（ ）A2BCD5某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何的体积(单位：)是（ ）A16B6C18D6已知sin cos ，则sin cos 等于（ ）ABCD7函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）ABCD8已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是()A(11，9)B(4，0)C(9，3)D(9，-3)9已知向量与的夹角为，则（）A1B
2、3C4D510若函数在时取得极值，则（ ）ABCD11若是函数的极值点，则的极小值为（ ）ABCD12已知、为椭圆： （）的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD二、填空题13函数在点(0，f(0)处的切线方程是_.14若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为_.2.515已知两个变量、之间具有线性相关关系，次试验的观测数据如右表：经计算得回归方程的系数，则_16如图所示，已知双曲线：（，）的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的渐近线方程是_.三. 解答题17在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角C的大小（2）若，的面积
3、为，求的周长18某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0，200(200，400(400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
4、认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：，P(K2k)0.050 0.010 0.001k3.8416.63510.82819如图，长方体中，点P为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值.20已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.21设函数的图象与直线相切于点.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值；选做题（22.23两道题中任选一道做，多做按第一道题给分）22已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴
5、为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若曲线：分别交直线和曲线于点，求.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.参考答案1C【解析】【分析】计算出集合，利用并集的定义可求得集合.【详解】全集，集合，则，又集合，因此，.故选：C.【点睛】本题考查补集与并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模.【详解】，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.3B【解析】【分析】由可求出，结合已知即可求解.【详解】，解得，
6、所以故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题4C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为由，则，所以，由，所以，故，故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式基本量的计算，细心计算，属基础题.5D【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图（如图），得到一个四棱锥，然后利用棱锥的体积公式求解即可【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面为长方形，高为2的四棱锥，如图所示，所以该几何体的体积为,故选：D【点睛】此题考查三视图与直观图的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题.6C【解析】【分析
7、】由题意得(sin cos )2，化简即得解.【详解】由题意得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选：C.【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7A【解析】【分析】由图像与轴相邻两交点的横坐标可求出周期，从而可求出的值，由最高点的纵坐标可得的值，再将点的坐标代入解析式中可求出的值.【详解】解：由题图知，周期T=，A=1所以，所以.由，得，不妨取.故选：A.【点睛】此题考查的是由三角函数的图像求解析式，属于基础题.8D【解析】试题分析：设点D的坐标为（x,y）,则，=
8、2，即点D坐标为（9，-3），故选D考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此类问题的关键，属基础题9C【解析】【分析】由已知条件对两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出【详解】解：根据条件，；解得，或（舍去）故选C【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和 10D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.11A12D【解析】【分析】结合椭圆第一定义可求出与与的关系，再联立为直角三角
9、形采用勾股定理即可求出离心率【详解】如图所示，可设，则，由椭圆第一定义可得，即，则，又为直角三角形，所以，即，化简得，即故选：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，椭圆第一定义的应用，数形结合与数学运算的核心素养，属于中档题13【解析】【分析】先对函数求导，然后求出f(0)的值就是切线的斜率，利用点斜式可求切线方程【详解】解:，, f(0)0,函数f(x)的图像在点(0,0)处的切线方程为y01(x0)，即yx.故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求切线方程，属于基础题.141【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面
10、区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15【解析】【分析】利用平均数求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程即可.【详解】解：由题意得：，.所以，样本中心点坐标为，因为回归方程为，样本中心点在回归
11、直线上，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查了线性回归方程系数的求法，在线性回归分析中，样本中心点在回归直线上，属于基础题.16【解析】【分析】利用双曲线的性质，推出，通过解三角形求出、的关系，再根据，即可得到、的关系，从而得到渐近线方程【详解】解：双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，设左焦点为，连接、，由对称性可得、，可得，所以，所以，可得，又，所以，所以，故渐近线为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题17（）（）. 【解析】【分析】（）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的
12、值（）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长【详解】（）由正弦定理，得，在中，因为，所以故， 又因为0C，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，从而.即 又，所以的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题18（1）该市一天的空气质量等级分别为、的概率分别为、；（2）；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界
13、值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为（3）列联表如下：人次人次空气质量不好空气质量好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设和交于点O，连结，由三角形性中位线定理，我们可得，结合线面平行的判定定理，即可证明结果； （2）由（1）知，所以异面直线与所成的角就等
14、于与所成的角，故即为所求，解三角形即可得求出结果【详解】（1）证明：设和交于点O，则O为的中点，连结，又因为P是的中点，故又因为平面，平面所以直线平面（2）由（1）知，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，故即为所求；因为，且所以.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及异面直线成角的求法，属于基础题.20（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.【详解】（1）解：由题意得，所以，又点在上，所以，联立，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，的坐标为，依题
15、意得，联立方程组消去，得.，所以，.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求导得到，根据，解方程得到答案.（2），得到函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，计算极值和端点值，比较大小得到答案.【详解】（1），根据题意，解得，.故.（2），取，解得，.故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.故函数的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了函数的切线问题，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16、22（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把直线的参数方程和曲线的参数方程转换为直角坐标方程，最后转换为极坐标方程 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线的极坐标方程为：曲线的参数方程为 （为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：曲线的极坐标方程为：（2）曲线：分别交直线和曲线于点， 所以，解得 同理，解得， 所以 .【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数的形式，再解不等式即可；、（2）不等式解集为恒成立，设，则，求的最小值即可【详解】（1）由已知得；，不等式的解集为.（2）不等式解集为恒成立，设，则当时，；当时，；当时，.恒成立，由，得.的取值范围是.【点睛】此题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.
