1、 第四章 三角函数、解三角形 第三讲 三角函数的图象与性质 1.2021 贵阳市四校第二次联考将函数 f(x)=sin(2x-3)的图象向左平移 a(a0)个单位长度得到函数 g(x)=cos 2x的图象,则 a 的最小值为()A.3 B.512 C.23 D.2.2021 南昌市高三测试已知函数 f(x)=sin(x+)(0,|0,|0)的最小正周期为,则=()A.32 B.2 C.1 D.12 6.条件创新 函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2)的部分图象如图 4-3-2 所示,B,C 分别为函数 f(x)的图象与 x 轴、y 轴的交点,|BC|=332.若函数 f(x)的图象
2、与直线 y=54在(0,3)内的两个交点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则 f(x1+x2)=()A.-1 B.-2 C.-3 D.-2 图 4-3-2 7.2020 惠州市二调已知直线 x=3是函数 f(x)=2sin(2x+)(|0,00,0,02)的最大值为 3,f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为 2,则 f(1)+f(2)=.10.2019 浙江,18,14 分设函数 f(x)=sin x,xR.(1)已知 0,2),函数 f(x+)是偶函数,求 的值;(2)求函数 y=f(x+12)2+f(x+4)2的值域.11.2021 四省八校
3、联考若 是ABC 的一个内角,且 cos-13,则下列结论错误的是()A.sin-22 C.cos 2-79 D.sin 20,|0)的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x)的图象,且 g(0)=-1,则下列说法正确的是()A.g(x)为奇函数 B.g(-2)=0 C.当=5 时,g(x)在(0,)上有 4 个零点 D.若 g(x)在0,5上单调递增,则 的最大值为 6 15.2020 武汉市部分学校质量监测已知函数 f(x)=2sin(x+)+1(0,|0,0),对于任意的 x1,x2R,都有 f(x1)+f(x2)-230,若 f(x)在0,上的值域为32,3,则实数 的取值范围为(
4、)A.13,12 B.13,23 C.14,23 D.14,12 17.2020 唐山市模拟已知函数 f(x)=sin(x+4)(0),若 f(x)在0,2上恰有 3 个极值点,则 的取值范围是 .18.设问创新已知函数 f(x)=asin x-cos x(a0,0)的最大值为 2,则 a=,若函数 f(x)图象的一条对称轴为直线 x=,mN.则当 取最小整数值时,函数 f(x)在(0,10)之间取得最大值的次数为 .19.2020 武汉市六月模拟关于函数 f(x)=|cos(2x-3)|-|sin(2x-3)|,有下列三个结论:2是函数 f(x)的周期;函数 f(x)在 x0,时的所有零点和
5、为1312;函数 f(x)的值域为-1,1.其中所有正确结论的编号是 .20.2021 江苏省部分学校调考在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m=(2sin(x-A),sin A),n=(cos x,1),f(x)=mn,且对任意 xR,都有 f(x)f(512).(1)求 f(x)的单调递增区间;(2)若 a=23,sin B+sin C=62,求ABC 的面积.21.2020 合肥市三检已知函数 f(x)=cos x(sin x+3cos x)(0).(1)求函数 f(x)的值域;(2)若方程 f(x)=32 在区间0,上恰有两个实数解,求 的取值范围.22.
6、已知 x1=3,x2=56 是函数 f(x)=sin(x+)(0,00,-120)的函数关系式,并求当 t(0,2时,y 的取值范围.图 4-3-4 答 案 第四章 三角函数、解三角形 第三讲 三角函数的图象与性质 1.B 将函数 f(x)=sin(2x3)的图象向左平移 a(a0)个单位长度,可得函数 y=sin2(x+a)3=sin2x+(2a3)的图象,所以 y=sin2x+(2a3)的图象与 g(x)=cos 2x 的图象重合.因为 g(x)=cos 2x=sin(2x+2),所以 2a3=2k+2,kZ,即 a=k+512,kZ,当 k=0 时,可得 amin=512,故选 B.2.
7、C 由于 f(2)=f(23),所以直线 x=2+232=712是函数 f(x)图象的对称轴.设 f(x)的最小正周期为 T,由图可知34T=712(6)=34,所以 T=,=2=2,故 f(x)=sin(2x+).由于 f(6)=sin(62+)=sin(3)=0,且|2,所以=3.故选 C.【易错警示】本题容易误以为 f()=1 导致结果错误,事实上 f()1.3.B 由最小正周期 T=2=,可得=2,f(x)的图象向左平移6个单位长度后为偶函数 y=2sin(2x+3+)的图象,故3+=k+2,kZ,=k+6,kZ.|0),f(x)的最小正周期 T=22=,=1.6.B 由题中图象可知
8、A=2,且BOC 为直角三角形,所以|OC|=(332)2-(52)2=2,则 f(0)=2,则 sin=22,又|2,所以=4,所以 f(x)=2sin(x4).又点 B(52,0)为“五点作图法”中的第三个点,所以524=,所以=2,于是 f(x)=2sin(2x4).由2x4=k+2(kZ),得 x=2k+32(kZ),所以函数 y=f(x)的图象在(0,3)内的对称轴为直线 x=32,则由题意知 x1+x2=3,所以 f(x1+x2)=f(3)=2sin(32 4)=-2cos4=2,故选 B.7.D 由题意可得 23+=k+2(kZ),所以=k6(kZ),又|2,所以=6,故选项 A
9、 错误;函数的解析式为 f(x)=2sin(2x6),若 x0,2,则 2x66,56,此时函数不具有单调性,故选项 B 错误;把 f(x)的图象向左平移6个单位长度可得到 y=2sin2(x+6)6=2sin(2x+6)的图象,故选项 C 错误;把 f(x)的图象向左平移12个单位长度可得到 y=2sin2(x+12)6=2sin 2x 的图象,故选项 D 正确.8.(76,0)(答案不唯一)由已知得 SMBC=122BC=BC=,所以最小正周期 T=2=2,=1.由 f(0)=2sin=1,得sin=12.因为 00)的最大值为 3,可得 A=2,则 f(x)=2cos2(x+)+1=co
10、s(2x+2)+2,其图象与 y 轴的交点为(0,2),则 f(0)=cos 2+2=2,即 cos 2=0,又 02,所以=4.又其相邻两条对称轴间的距离为 2,故函数 f(x)的最小正周期 T=4,即22=4,所以=4,f(x)=cos(2x+2)+2=-sin(2x)+2,则 f(1)+f(2)=1+2=3.10.(1)因为 f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数 x 都有 sin(x+)=sin(-x+),即 sin xcos+cos xsin=-sin xcos+cos xsin,故 2sin xcos=0,所以 cos=0.又 0,2),因此=2或32.(2)y=f(
11、x+12)2+f(x+4)2=sin2(x+12)+sin2(x+4)=1-cos(2+6)2+1-cos(2+2)2=112(32 cos 2x32sin 2x)=1 32 cos(2x+3).因此,函数的值域是1 32,1+32.11.D 因为 是ABC 的一个内角,且 cos 13,所以2.设 cos=13(2),则 sin=223,tan=sincos=-22.因为函数 y=cos x 在(2,)上单调递减,所以由 cos 13=cos,得2.对于 A,因为函数y=sin x 在(2,)上单调递减,所以 sin sin,即 sin tan,即 tan-22,故 B 正确;对于 C,因为
12、 cos 19,所以 cos 2=2cos2-1219 1=79,故 C 正确;对于 D,sin 2=2sin cos,当 cos=223 时,sin=13,sin 2=213(223)=429,故 D 不正确.综上,选 D.12.D 解法一 由题意可知 h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为 h(x1)h(x2)=-4,所以(1)=2,(2)=-2或(1)=-2,(2)=2.当(1)=2,(2)=-2时,2x1+3=2k1+2(k1Z),即 x1=k1+12(k1Z),2x2+3=2k22(k2Z),即x2=k2512(k2Z),因为 x1,x2-,所以 x1=1112 或
13、 x1=12,x2=512或 x2=712,所以当 x1=1112,x2=712时,|x1-x2|取得最大值,最大值是32.同理,当(1)=-2,(2)=2时,|x1-x2|的最大值也是32.故选 D.解法二 由题意可知 h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为 h(x1)h(x2)=-4,所以(1)=2,(2)=-2或(1)=-2,(2)=2.因为函数 h(x)的最小正周期 T=,当 x-,时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值为32T=32.故选 D.13.C 解法一 因为函数 f(x)=sin(x+)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
14、,所以最小正周期 T=,=2=2,所以 f(x)=sin(2x+),f(x+12)=sin2(x+12)+=sin(2x+6+),因为 f(x+12)是偶函数,所以6+=2+k,kZ,故=k+3,kZ,又|2,所以=3,所以 f(x)=sin(2x+3).函数 f(x)的最小正周期为,故选项 A 错误;因为f(712)=sin32=-1,选项 B 错误;因为当34 x 时,116 2x+373,所以 f(x)=sin(2x+3)在34,上单调递增,选项C 正确;因为 f(712)=sin(56)=12,所以选项 D 错误.故选 C.解法二 因为函数 f(x)=sin(x+)图象的相邻两条对称轴
15、之间的距离为2,所以最小正周期 T=,故选项 A 错误;因为 f(x+12)是偶函数,所以 f(x+12)=f(-x+12),即直线 x=12是函数 f(x)图象的对称轴,而712 12=2,所以直线 x=712是函数 f(x)图象的对称轴,故选项 B 错误;12(712)=23,所以直线 x=712不是函数 f(x)图象的对称轴,所以选项 D错误.故选 C.14.B 由题意得 f(x)=cos(x2)=sin x,则 g(x)=sin(x2),g(0)=sin(2)=-1,即 sin2=1,cos2=0.对于 A 项,g(x)=sin(x2)=sin xcos2-cos xsin2=-cos
16、 x,又 g(x)的定义域为 R,故 g(x)为偶函数,A错误.对于 B 项,g(2)=-cos2=0,B 正确.对于 C 项,当=5 时,g(x)=-cos 5x,由 5x=2+k,kZ,得 x=10+5,kZ,因为 x(0,),所以 x 可以取10,310,2,710,910,即当=5 时,g(x)在(0,)上有 5 个零点,C 错误;对于 D 项,由 2kx2k+,kZ,得2 x2+,kZ,则函数 g(x)在区间2,2+(kZ)上单调递增,因为 g(x)在0,5上单调递增,所以5,解得 05,即 的最大值为 5,故 D 不正确.故选 B.15.A 因为 f(x)-1,3,所以(3,1)为
17、函数的一个对称中心,x=4为其一条对称轴,要使 最小,则周期最大,此时(3,1)与 x=4为相邻对称轴与对称中心,所以3 4=14T=142,所以=6,f(4)=2sin(64+)+1=2sin(32+)+1=-1,因为|0,t4,2+4,又 f(x)在0,2上恰有 3 个极值点,结合 y=sin t的图象得52 2+472,解得98138.【易错警示】本题容易出现的错误解答:结合正弦函数 y=sin t 的图象得52 2+4 72,解得9810.从而 f(x)在(0,10)之间有 3 次取得最大值.19.因为函数 y=|cos(2x3)|和 y=|sin(2x3)|的最小正周期均为2,所以2
18、是函数f(x)=|cos(2x3)|-|sin(2x3)|的一个周期,所以正确;令 f(x)=|cos(2x3)|-|sin(2x3)|=0,即|cos(2x3)|=|sin(2x3)|,|sin(2-3)|cos(2-3)|=|sin(2-3)cos(2-3)|=1,即|tan(2x3)|=1,去绝对值符号得 tan(2x3)=1 或tan(2x3)=-1,所以 2x3=4+k 或 2x3=-4+k,kZ,即 x=724+2 或 x=124+2,kZ,又 x0,所以x1=724,x2=1924,x3=24,x4=1324,所以所有零点和为53,所以错误;令 2x3=t,则函数 f(x)=|c
19、os(2x3)|-|sin(2x3)|的值域转化为函数 g(t)=|cos t|-|sin t|的值域,且函数 g(t)的周期为,因此考虑 t0,即可,所以 g(t)=|cos t|-|sin t|=cos-sin,0 2,-cos-sin,2 0,32x+32+3,由正弦函数的图象可知,要使 f(x)=32 在区间0,上恰有两个实数解,必须 22+33,解得5643.22.C 设函数 f(x)的最小正周期为 T,由题意可得2=56 3,则 T=,所以2=,所以=2,则 f(x)=sin(2x+).令x=3,则 23+=k,kZ,即=k23,kZ,又 02,所以=3,所以 f(x)=sin(2x+3).因为函数g(x)=|f(x)12|在4,m上的最大值为1,且当x4,m时,62x+32m+3,所以62m+376,所以4m512.23.或(写出一个即可)根据f(x)的最小正周期为,可得=2,函数 f(x)=sin(2x+).再由函数 f(x)的图象关于直线 x=12对称,可得 212+=2+k,kZ,=3+k,又120),当 t(0,2时,2t+3(3,43,所以 cos(2t+3)-1,12),故当 t(0,2时,y3,32).
