1、44.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质教材要点要点一对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域_值域R过点_，即当x1时，y0在(0，)上是_在(0，)上是_状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”要点二反函数一般地，指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)对数函数ylog5x与ylog15x的图象关于y轴对称()(2)对数函数的图象都在y轴的右侧()(3)若对数函数y
2、log(a1)x是减函数，则a2.()(4)函数yax与函数ylogax的图象关于直线yx对称()2(多选)若函数ylogax的图象如图所示，则a的值可能是()A0.3 B15C32 D3函数ylog2x在区间(1，2上的最大值是()A0B1 C2D44函数yloga(x3)2的图象过的定点是_题型1对数函数的图象问题角度1图象过定点问题例1已知函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则f(log32)_方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a0且a1，都有loga10，例如，解答函数ymlogaf(x)(a0，且
3、a1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)1求出x，即得定点(x，m).角度2对数函数的底与图象变化的关系例2如图所示的曲线是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_.方法归纳当0a1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢当a1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢角度3图象的识别问题例3函数yloga|x|1(0a1)的图象大致为()方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解(2)根据
4、函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等跟踪训练1(1)函数yxa与ylogax的图象只可能是下图中的()(2)图中曲线是对数函数ylogax的图象，已知a取3， 43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为() A3，43，35，110B3，43，110，35C43，3，35，110D43，3，110，35(3)函数yloga(2x1)2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(1)_题型2对数函数图象的综合应用例4当x(1，2)时，不等式(x1
5、)2logax恒成立，则a的取值范围是()A(0，1)B(1，2)C(1，2D（0，12）方法归纳解答与对数函数图象有关的综合问题的关键(1)熟悉函数的图象及性质是解决该类型题目的前提(2)对于较复杂的方程，求其解的个数或者参数的取值范围，往往转化为两个函数图象的交点个数问题，体现了直观想象的核心素养跟踪训练2已知函数f(x)直线ya与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_. 题型3对数型函数的值域与最值问题例5求函数f(x)log2(4x)log14x2，x 12,4的值域方法归纳 (1)利用对数运算性质化为关于log2x的一个二次函数，再通过二次函数的方法求最值(2)求形
6、如ylogaf(x)(a0且a1)的复合函数值域的步骤：求函数的定义域；将原函数拆分成ylogau(a0，且a1)，uf(x)两个函数；由定义域求u的取值范围；利用函数ylogau(a0且a1)的单调性求值域跟踪训练3已知函数f(x)loga(1x)loga(3x)(a0且a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值忽视对底数的讨论致误例6若函数ylogax(a0且a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a的值为_解析：当a1时，函数ylogax在2，4上是增函数，所以loga4loga21，即loga421，所以a2.当0a1时，函数ylogax在
7、2，4上是减函数，所以loga2loga41，即loga241，所以a12. 综上可知a2或a12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a1的情况，漏掉了0a1的情况底数的范围不同决定了对数函数的单调性不同，从而影响了在闭区间上的最值所以一定要对底数进行讨论课堂十分钟1(多选)函数f(x)loga(x2)(0a1)的图象必过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2函数y2log5x(x1)的值域为()A(2，) B(，2)C2，) D3，)3函数f(x)xxlogax(0a1)的图象大致为()4函数f(x)loga(2x3)1(a0，且a1)的图象恒
8、过定点P，则点P的坐标是_5设a1，函数f(x)logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值44.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质新知初探课前预习要点一(0，)(1，0)增函数减函数基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：AB3答案：B4答案：(4，2)题型探究课堂解透例1解析：依题意可知定点A(2，1)，f(2)32b1，b109，故f(x)3x109，f(log32)3log32109210989.答案：89例2解析：由题图可知函数ylogax，ylogbx的底数a1，b1，函数ylogcx，ylogdx的底数0c1，0d1.过点(0，1)作平行于
9、x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然ba1dc.答案：ba1dc例3解析：函数为偶函数，在(0，)上为减函数，(，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x1时y1.答案：A跟踪训练1解析：(1)A中，由yxa的图象知a1，而ylogax为减函数，A错；B中，0a1，而ylogax为增函数，B错；C中，0a1，且ylogax为减函数，所以C对；D中，a0，而ylogax无意义，也不对(2)由已知中曲线是对数函数ylogax的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取3，43，35，110四个值
10、，故C1，C2，C3，C4的a值依次为3，43，35，110.(3)根据题意，令2x11，得x1，此时y2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)2x，所以f(1)12.答案：(1)C(2)A(3)12例4解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1，2)上的图象在f2(x)logax在(1，2)上的图象的下方即可当0a1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，解得1a2.故选
11、C.答案：C.跟踪训练2解析：函数f(x)的图象如图所示，要使直线ya与f(x)的图象有两个不同的交点，则00,3-x0,解得1x3，所以函数f(x)的定义域为(1，3).(2)因为f(x)loga(1x)(3x)loga(x22x3)loga(x1)24，若0a1，则当x1时，f(x)有最小值loga4，所以loga42，a24，又0a1，所以a12.若a1，则当x1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值综上可知，a12.课堂十分钟1答案：BCD2答案：C3答案：B4答案：(2，1)5解析：a1，f(x)logax在(0，)上是增函数最大值为f(2a)，最小值为f(a).f(2a)f(a)loga2alogaa12，即loga212.a4.
