1、第五章DIWUZHANG数系的扩充与复数的引入习题课复数的模及几何意义的应用课后篇巩固提升1.已知复数z=(i为虚数单位),则|z|=() A.1B.C.2D.解析因为z=2-i,所以|z|=.故选D.答案D2.若复数z满足z+2+1=0,则复数z对应点的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个点D.不存在解析设z=x+yi(x,yR),代入得x+yi+2(x-yi)+1=0,即(3x+1)-yi=0,z对应点的轨迹是一个点.答案C3.设f(z+i)=1-,z1=1+i,z2=1-i,则f=()A.1-iB.-iC.1D.-1解析令z+i=t,则z=t-i,f(t)=1-i-,=1.故f=f(
2、1)=1-i-1=-i.答案B4.设z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a0,bR),且z1z3=,则|z2|的值为.解析由=z1z3,得(a+bi)2=b+ai,即a2-b2+2abi=b+ai,a0,b=,代入a2-b2=b得a2=.又a0,a=.|z2|=1.答案15.设z=x+yi(x,yR),若1|z|,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.解|w|=|z|,而1|z|,所以|w|2.所以w的对应点的集合是以原点为圆心,半径为和2的圆环面(含边界),其面积S=22-()2=2.6.已知zC,|z-2i|=,当z取何值时,|z+2-4i|分别取得
3、最大值和最小值?并求出最大值和最小值.解如图所示,|z-2i|=,z在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心,为半径的圆.|z+2-4i|=|z-(-2+4i)|,欲求其最大值和最小值,即在圆上求出点M,N,使得M或N到定点P(-2,4)的距离最大或最小.显然过P与圆心连线交圆于M,N两点,则M,N即为所求,不难求得M(1,1),N(-1,3),即当z=1+i时,|z+2-4i|有最大值,为3.当z=-1+3i时,|z+2-4i|有最小值,为.7.已知复数z=,w=z+ai(aR),当时,求a的取值范围.解z=1-i.w=z+ai=1+(a-1)i,a2-2a-20,1-a1+.故a的取值范
4、围是1-,1+.8.已知复数z1=2+i,2z2=.(1)求z2;(2)若ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且=cos A+2icos2,求|+z2|的取值范围.解(1)z2=-i.(2)在ABC中,A,B,C依次成等差数列,2B=A+C,A+B+C=180.B=60,A+C=120.+z2=cos A+2icos2-i=cos A+i=cos A+icos C,|+z2|2=cos2A+cos2C=1+(cos 2A+cos 2C)=1-cos(A-C).A+C=120,A-C=120-2C,且0C120.-120A-C120.-cos(A-C)1.1-cos(A-C).|+z2|的取值范围是.
