1、第八节 函数模型及其综合应用知识点一常见函数模型1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型的性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调函数单调函数单调函数增长速度越来越越来越相对平稳图象的变化随x值增大，图象与轴接近平行随x值增大，图象与x轴接
2、近随n值变化而不同递增递增递增快慢平行y一个易错点：函数定义域.(1)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系式为_.解析 由题意得关系式为h205t(0t4).答案h205t(0t4)(2)三种函数模型：体会指数爆炸与对数增长设函数f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，若x0(4，)，则f(x0)，g(x0)，h(x0)的大小关系为_.解析三个函数中g(x)增长最快，h(x)增长最慢，由在某点处导数的几何意义知g(x0)f(x0)h(x0).答案g(x0)f(
3、x0)h(x0)知识点二函数模型的应用1.函数的实际应用问题解答函数应用题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：2.函数的综合应用问题函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学知识相结合，根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建立不同变量之间的关系，利用函数的单调性、最值等性质，结合函数思想及方法，达到解决其他问题的目的，这也正体现了函数
4、的工具性作用.一个重要函数模型：指数函数模型.(3)在实际问题中，有关人口增长、银行利率，细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型yN(1p)x表示，其中N为基础数，p为增长率，x为时间.某电脑公司2014年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2014年到2016年，每年经营总收入的年增长率相同，2015年预计经营总收入为_万元.答案1 300一次函数，二次函数模型求解方法在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大
5、于0)或直线下降(自变量的系数小于0).有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.对这类问题，可以构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？点评二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称
6、轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.分段函数模型应用求解方略(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？点评解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.利用导数求解应用题中的最值求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设
7、自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.答题模板解函数应用题的一般程序第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
