1、重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三数学下学期3月月考试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，根据交集计算即可.【详解】,故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】在复平面内，复数=1i对应的点（1，1）位于第四象限故选D【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理
2、能力与计算能力，属于基础题3.古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 222石B. 224石C. 230石D. 232石【答案】B【解析】【分析】根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案【详解】由题意可知，2016石的夹谷约为石故选：B点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题4.若实数满足，则最大值是（ ）A. B. 0C. D. 2【答案】D【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需
3、求出可行域直线在轴上的截距最大值即可【详解】先根据约束条件画出可行域，如图：由得：，根据截距的几何意义可知，当直线过点时，有最大值，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于中档题5.设为坐标原点，为抛物线的焦点，若点满足，则为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程得到焦点坐标，根据向量的数量积运算即可求出a.【详解】由知，焦点，所以，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线简单几何性质，数量积的坐标运算，属于容易题.6.设等比数列的前项和为，若，则（ ）A. B. 16C. 12D. 【答案】D【解析】【分析】由知，公比，由计算，
4、代入求值即可.【详解】因为等比数列的前项和为，且，所以,且，解得：，所以故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式，考查了运算能力，属于中档题.7.在中，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理求出，利用基本不等式求的最值，即可求解.【详解】由余弦定理知，当且仅当时，取等号，因为,故A的最大值为，故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，均值不等式，余弦函数的单调性，属于中档题8.函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可得周期，求出可排除B、C，再利用过点区分选项A、D即可.【详解】由图象
5、知, ,所以，得，故排除选项B、C，又图象过点，代入选项A不成立，代入选项D成立，故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，由图象求解析式，属于中档题.9.棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意作出截面图形，截面为正六边形，求其面积即可.【详解】如图，作出过三点的平面截面图，由图可知，截面为正六边形，边长为，所以截面面积，故选：C【点睛】本题主要考查了截面的性质，正六边形的面积，考查了空间想象力，属于中档题.10.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算，根据正
6、弦函数的单调性即可比较大小.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式，正弦函数的单调性，属于中档题.11.已知双曲线右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】C【解析】【分析】根据条件求出，利用双曲线的对称性可知，建立关系，求解即可.【详解】连接,如图，由双曲线对称性可知，所以，又，代入双曲线方程可得：，由双曲线定义知，故，又在直角三角形中，所以，整理可得：，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.12.已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设
7、，当时，恒有，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，所以，在上为增函数，由题意得，否则不成立，当时，且，即时，恒成立，当时，且，故当时，不成立.综上所述，【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与的夹角为120，且，则_.【答案】5【解析】【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出.【详解】因为向量与夹角为120，且，所以：
8、|；则cos12010（）；故答案为：.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.14.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为_.【答案】【解析】【分析】通过列举法可得所有的取法共有10种，而取出的两种相克的取法共有5种，由此即可求解【详解】从5类元素中任选2类元素有的取法共有金，木，金，水，金，火，金，土，木，水，木，火，木，土，水，火，水，土，火，土，共10种，而取出的两类相克的取法有金，木，木，土，土，水，水，火，火，金，共5种，故
9、取出的这2类元素相克的概率为，故答案为：【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于中档题15.分别是关于的方程和的根，则_.【答案】5【解析】【分析】根据题意得出是函数与与交点的横坐标，结合与的图像关于轴对称，即可求出结果【详解】 分别是方程和的根，即分别是方程和的根， 是函数与与，交点的横坐标，与的图像关于轴对称，与的交点与与交点关于对称，由得， ，即故答案为：【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，反函数图象间的关系，数形结合的思想，属于难题.16.已知某圆柱轴截面的周长为12，当该圆柱体积最大时其侧面积为_.【答案】【解析】【分析】设圆柱底面半径为，高为，由题意知，利用导数求
10、体积最大时等号成立的条件，计算此条件下圆柱侧面积即可.【详解】设圆柱底面半径为，高为，则，当时，函数是增函数，当时，函数为减函数所以当时，有极大值，也为最大值，此时侧面积，故答案为：【点睛】本题考查了圆柱的轴截面性质、体积计算公式、侧面积公式，利用导数求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题共70分）17.已知数列满足，数列满足，且数列是等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列定义求出，再利用是等差数列求出数列的通项公式；（2）写出，得，利用分组求和及裂项相消法即可求解.【详解】（1）
11、由题意得，是以2为首项，2为公比的等比数列，是等差数列，（2），又【点睛】本题主要考查了等比数列，等差数列的定义、性质，分组求和，裂项相消法求和，属于中档题.18.如图，四边形为平行四边形，点在上，且.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明面，得，再证，即可得面，得证；（2）找到并证明线面角为，求出，由利用等体积法求点到平面的距离.【详解】（1），面，又，面又面，面面（2）面，直线与面的所成角为，则【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，线面角，等体积法求高
12、，属于中档题.19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：甲套设备的样本的频率分布直方图乙套设备的样本的频数分布表质量指标值频数16191851（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附：0.150.100.0500.0
13、250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考公式：，其中【答案】（1）甲合格率0.86，乙的合格率0.96，乙套设备比甲套设备更优秀.（2）见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和频数分布表，计算合格率，即可得出结论;（2）填写联表，计算，比较临界值即可得出结论.【详解】（1）甲的合格率，乙的合格率，由合格率可以看出，乙套设备比甲套设备更优秀.（2）甲套设备乙套设备合计合格品434891不合格品729合计5050100，所以没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.【点睛】本题主要考查了统计与独立性检验的相关知识，也考
14、查了对数据处理能力的应用问题，属于中档题.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于两点.的周长为8，且的最小值为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，直线分别交直线于两点，当的面积是面积的5倍时，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据过椭圆焦点弦的性质可知三角形周长为，垂直对称轴时最短为计算即可；（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由三点线得，代入中化简即可求解.【详解】（1）由周长为8及的最小值为3，可得，解得所以椭圆的方程为.（2）设，联立得：，即，由三点共线可得：，同理可得.解得.所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆
15、的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了推理与运算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求证：；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）原不等式可化为，构造函数，利用导数求其最大值即可求证；（2）求导，根据结合在上有两不等实根，分类讨论，两种情况，易知不符合题意，当时，由导数研究函数的极值判断函数是否有两个零点.【详解】（1）即证，令，当，单调递增；当，单调递减.而，故（2）当，单调递增.至多一个零点，故不符合.当时，单调递增.，单调递减.令，单调递减.，单调递增.所以.（）当时，有一个零点，故不符合（）当时，由，记，由（1）知此时有两个零
16、点.（）时，由，此时有两个零点.综上，当，有两个零点.【点睛】本题主要考查了利用函数的导数证明不等式，函数的极值，零点问题，分类讨论的思想，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点.（1）若点P的极坐标为（2，），求|PM|PN|的值；（2）求曲线C的内接矩形周长的最大值
17、.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线的直角坐标方程.求得的直角坐标，由此判断在直线上，求得直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得的值.（2）求得椭圆内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，转换为直角坐标方程为.点P的极坐标为（2，），转换为直角坐标为（2，0）由于点P（2，0）在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），所以代入曲线的方程为，整理得，所以|PM|PN|t1t2|
18、4.（2）不妨设Q（），（），所以该矩形的周长为4（）16sin（）.当时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数，.（1）当时，求a的取值范围；（2）若，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将原不等式化为关于a的不等式，由绝对值的意义，分类讨论去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）原不等式等价于，运用绝对值不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围.【详解】解：（1）由，得，即，则，或，或，解得，或，或，则的范围是；（2）恒成立，等价于，当，时，当且仅当时取等号，而，时，当且仅当时，取等号，则由，解得，故所求的范围是：.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，以及二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题.
