1、第28讲 平面向量范围与最值问题 一、单选题1（2021四川双流中学高三期末（理）如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为2的正方形的边和上移动，则的最大值是（ ）A4BCD2【答案】D【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系：令，由于，故，如图，故，故同理可求得，即，当时，有最大值2故选：D2（2021四川资阳高三月考（理）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】可设，根据，可得的关系式，并得出的范围，将用表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设，则，即，则，当时，取得
2、最大值为6，即的最大值为6.故选：C3（2021河南南阳高三期中（文）已知是两个夹角为120的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中，则的最大值是（ ）AB2CD3【答案】B【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.【详解】解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设，可得，由，得，当时，的最大值为2，此时为弧的中点.所以的最大值是2.故选：B.4（2021江西赣州高三期中（文）已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）A8B10C12D13【答案】C【分析】以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系
3、，不妨设，求出点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值【详解】，可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设，则，故点P坐标为则，令，则，则当时，当时，则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12故选：C5（2021浙江丽水高三期中）已知平面向量，若，则（ ）A的最小值是B的最大值是C的最小值是D的最大值是【答案】A【分析】令，可得，且，设 ，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.【详解】令，则，故，且，假设 ，所以根据已知条件有，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选：A.6（2018浙江绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知平面向量满足，则的最大值
4、是（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知可得，再结合向量的数量积的性质可求，最后代入即可求出答案.【详解】设 得 即 , 故选：A7（2021山西怀仁市第一中学校高三期中（理）已知平面向量满足，=1，=2，则的最大值为（ ）A1B2CD【答案】D【分析】由题意不妨设，利用，可得为定值，再求出的解析式，利用基本不等式即可求出的最大值【详解】解：由，不妨设，又，可设，则，又，；，当且仅当或时取“=”；的最大值为故选：D8（2021浙江省杭州第二中学高三期中）已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A、B、C在下底面圆的圆周上，且，点在上底面圆的圆周上，则的最小值为（ ）A246B226
5、C208D198【答案】D【分析】问题可转化为三棱锥且三棱锥有外接球，求转化为求的最值，再转化为利用向量求解即可.【详解】如图，ABC的外心是AC中点，点P到底面ABC的距离为7，设所在截面圆的圆心为，此截面与平面ABC平行，球心在上，则，设P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以为圆心，3为半径的圆，因为PQ平面ABC，所以PQ与平面ABC内所有直线都垂直，PQ=7,所以 ，当反向时，取得最小值-12，所以的最小值 故选：D9（2021江苏省泰兴中学高三期中）已知中，当时，的最小值为（ ）A10BC5D【答案】D【分析】先利用余弦定理求出，从而可求出，然后对平方后化简，再利用二次函数的性质可求得
6、结果【详解】由余弦定理得，解得，所以所以，当时，取最小值，所以，故选：D10（2021北京朝阳高三期中）如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为（ ）AB6CD4【答案】B【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为.故选：B11（2021辽宁实验中学高三期中）若平面向量，满足，则对于任意实数，的最小值是（ ）ABCD【答案】A【分析】转化，结合题干条件和二次函数的性质，即得解【详解】由题意，当且仅当时等号成立故的最小值是故选：A12（2021重庆八中高三月考）四叶
7、回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，M为线段上一动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【分析】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：由题意，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系 则，M为线段上一动点，设，其中，当时， 的最小值为.故选：D.13（2021北京101中学高三开学考试）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【分析】由题意，则，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解【详解】由题意，向量与共线，故存在实数，使得当且仅当时等号成立故选：D14（2022全国高三专题练习）设向量，其中
8、O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）A4B6C8D9【答案】A【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，A，B，C三点共线，且，则，可得，当且仅当时等号成立.的最小值为.故选：A15（2021广西桂林高三月考（文）已知向量，.若恒成立，则实数的范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由条件利用向量的数量积公式，三角恒等变换，变形为，再根据求得的最大值，进而可得的范围.【详解】由已知，由，得，得，故的最大值为，所以.故选：B.16（2021江苏高三专题练习），,，若对任意实数，恒成立，则实数的范围（ ）ABCD【答案】
9、B【分析】先由题中条件，根据向量模的计算公式，求出，再将不等式恒成立转化为对任意实数恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为，,，则，则，所以，又对任意实数，恒成立，则对任意实数恒成立，因此只需，解得或，故选：B.【点睛】本题主要考查考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查向量模的计算，属于常考题型.二、多选题17（2021江苏省天一中学高三月考）己知ABC中，角A，BC所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（ ）A=+Ba+3c的最大值为CABC面积的最大值为Da+c的最大值为2【答案】AD【分析】利用平面向量基底表示向
10、量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D.【详解】对于A，在ABC中，因2=，则，A正确；在ABP中，由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，于是得当时，C不正确；在ABP中，令，则，由正弦定理得：，则，其中锐角由确定，而，则当时，取最大值，D正确；而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B不正确.故选：AD18（2022河北高三专题练习）在中，下述四个结论中正确的是（ ）A若为的重心，则B若为边上的一个动点，则为定值2C若，为边上的两个动点，且，则的最小值为D已知为内一点，若，且，则的最大值为2【答案】AC【分析】A.以A为坐标原
11、点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由为的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t的代数式表示判断；C.不妨设M靠近B，求得M，N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP=1，得到，再令，转化为，利用三角函数的性质求解判断.【详解】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，因为为的重心，所以，则 ，所以 ，所以，故A正确；设，则，则，故B错误；不妨设M靠近B，得，则，当时，的最小值为：故C正确；由，且P为内一点，BP=1，则，即，令，则，因为，则，所以，所以的范围是，故D错误.故选：AC19（2022全国
12、高三专题练习）如图所示，在凸四边形中，对边的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则（ ）ABC的最大值为1D的最小值为【答案】ACD【分析】根据题意，化简整理，即可判断A的正误；利用B、C、E三点共线及F、C、D三点共线，化简计算，即可判断B的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：由B、C、E三点共线可得，由F、C、D三点共线可得，解得，故B正确；对于C：由得，当且仅当时等号成立，所以有最小值为4，无最大值，故C错误；对于D：因为，所以，所以.当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握
13、向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.20（2022全国高三专题练习）在中，其中，均为边上的点，分别满足：，则下列说法正确的是（ ）A为定值3B面积的最大值为C的取值范围是D若为中点，则不可能等于【答案】ABD【分析】对于A:利用和数量积的计算公式可求；对于B：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C：先判断出，结合的范围即可判断；对于D：利用求出范围，即可判断.【详解】设.对于A:因为，所以D为BC的中点.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.故A正确；对于B：，又，当且仅当“时,取“=”此时，所以.故B正确；对于C：因为，
14、所以，所以.当时，D、E重合，取得最大值3.可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故C错误；对于D：若为中点，则.故D正确.故选：ABD.21（2022河北高三专题练习）如图，在中，点，为边上两个动点，且满足，则下列选项正确的是（ ）A的最小值为B的最小值为C的最大值为D当取得最大值时，点与点重合【答案】BC【分析】取的中点，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得，求出的最小值，即可得答案，当点与点重合时，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【详解】取的中点，则，则，易知的最小值为点到的距离，即的最小值为，即的最小值为，故B选项正确，A错误；当点与点重合时，取得最大值，即，故的最大值为，
15、故C选项正确，D错误.故选：BC22（2022全国高三专题练习）如图，在直角三角形中，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（ ）A点所在圆的半径为2B点所在圆的半径为1C的最大值为14D的最大值为16【答案】AC【分析】斜边BC上的高即为圆的半径；把求的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求的最大值，从而判断出P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时取最大值.【详解】设AB 的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为，所以，所以由，得，所以圆的半径为2，即点所在圆的半径为2，所以选项A正确，B错误；因为，所以 ，所以当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时，取最大值，且最大值为，所以的最大值
16、为，所以选项C正确，D错误.故选：AC.23（2021全国高三专题练习（理）如图，等边的边长为2，点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段的右上方则（ ）A有最大值3B有最大值3C有最小值无最大值D无最大值也无最小值【答案】BD【分析】根据题意，设，则，进而得,，再结合三角恒等变换和向量数量积运算依次讨论各选项即可求解.【详解】如图，设，则，所以在中，在中，所以,所以，故，由于，故，所以，故A选项错误；，由于，故，即有最大值3，故B选项正确；所以，由于，故，所以有最大值，无最小值；故C选项错误；，由于，故，所以，所以无最大值也无最小值，故D选项正确；故选：BD【点睛】本题考查了向
17、量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.24（2022全国高三专题练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ）AB若，则有两解C若为锐角三角形，则b取值范围是D若D为边上的中点，则的最大值为【答案】BCD【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D【详解】因为，所以，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，所以，C正确；若D为
18、边上的中点，则，又，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可25（2021湖北高三月考）在中，角ABC的对边分别为，且，则以下四个命题中正确的是（ ）A满足条件的不可能是直角三角形B面积的最大值为C已知点M是边BC的中点，则的最大值为3D当A=2C时，若O为的内心，则的面积为【答案】BD【分析】对于A，利用勾股定理的逆定理判断；对
19、于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C，由数量积坐标公式即可判断；对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，化简得，所以点 在以为圆心，为半径的圆上运动，所以点到边的最大距离为，所以面积的最大值为，所以B正确；对于C，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，设则 ，即，又，所以，故C错；对于D，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以
20、，所以，则，所以，所以，为直角三角形， ，所以的内切圆半径为，所以的面积为所以D正确，故选：BD【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值26（2021福建三明一中高三期中）中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ）AB的最大值为C的最小值为D的最小值为【答案】BD【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；由，利用基
21、本不等式可求得最小值，知C错误；利用基本不等式可得，知D正确.【详解】对于A，三点共线，A错误；对于B，（当且仅当时取等号），B正确；对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；对于D，（当且仅当时取等号），D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2
22、7（2021广东珠海高三期末）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ）A的最小值为B的最大值为C的最大值为D的最小值为【答案】BD【分析】先证明结论：若、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】先证明结论：若、三点共线，点为直线外一点，且，则.证明：因为、三点共线，可设，即，所以，所以，.、为正实数，即，故，且、三点共线，当且仅当，时取等号，当且仅当，时取等号.故选：BD.28（2021全国高三月考）已知为所在平面内一点，且，是边的三等分点靠近点，与交于点，则（ ）ABCD的最小值为-6【答案】ABD【分析】由题
23、意得，由向量线性运算知，故A正确；根据，三点共线可知，是的中点，是靠近的四等分点，可推出，B正确；根据等边三角形求得，可知，C错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得，可求得最小值-6，D正确.【详解】解：，又是边的三等分点靠近点，故选项A正确；设，则，三点共线，故是的中点又，三点共线，所以为靠近的四等分点，故选项B正确；是边长为4的等边三角形，故选项C不正确；以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，设点，则最小值为-6，故选项D正确.故选：ABD29（2022河北高三专题练习）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）AB在方向上的投影
24、向量等于CD的最小值为-1【答案】AC【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断C，D.【详解】A：当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，A正确，B：在方向上的投影为，在方向上的投影向量为，B错误，C：是的重心，C正确，D：当与重合时，与的最小值为矛盾D错误，故选：AC30（2021广东高三月考）已知，点满足，则下列说法中正确的是（ ）A当时，的最小值为1B当时，C当时，的面积为定值D当时，【答案】AD【分析】首先根据数量积的定义求出，再利用余弦定理求出，即可得到，再一一判断即可；【详解】解：因为，所以，
25、所以，因为，所以，由余弦定理，所以，所以，所以，当时，点在直线上，故的最小值为点到直线的距离，故A正确；，若，则，故B错误；当时，点在过线段中点且平行于直线的直线上，的面积不为定值，故C错误；当时，点在过线段中点且平行于直线的直线（即线段的垂直平分线）上，所以，故D正确；故选：AD31（2022全国高三专题练习）如图，在边长为的正方形中，分别为边，上的两个动点，且记，下列说法正确的有（ ）A为定值BCD的最小值为【答案】ACD【分析】先根据已知条件将所有线段长用含有的式子表示，再对各选项进行分析.对于A可以转化为的值；对于B根据已求式直接表示即可；对于C可以在中利用将与联系起来即可；对于D利用
26、向量的基底法将所求数量积进行转化，再利用基本不等式求解最小值即可.【详解】根据题意可知，则，不妨设，则，.在中根据勾股定理得,即，解得.所以,.对于A，在中，所以，根据图形可知，所以，因为，所以，故A正确；对于B，由易求可得，故B错误；对于C，在中，因为，所以，故C正确；对于D，根据图形以及向量运算法则可知，所以，因为，所以根据基本不等式得，当且仅当即时等号成立，即的最小值为，故D正确.故选:ACD三、填空题32（2021浙江绍兴一中高三期中）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，则的最大值为_.【答案】60【分析】如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不
27、等式求解.【详解】如图所示，设所以，,因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，所以 所以，所以四点共圆.在中，由正弦定理得所以因为.在中，由余弦定理得，所以.所以的最大值为60.故答案为：6033（2021黑龙江大庆高三月考（理）锐角中，角，所对边的长分别为，设的面积为，若，则的最大值为_.【答案】【分析】先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.【详解】解：中，所以，当且仅当时等号成立，此时最小，最大.此时故答案为：.34（2021江苏海安高级中学高三月考）已知向量，是平面内的两个非零向
28、量，则当取最大值时，与夹角为_【答案】#【分析】根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】向量，是平面内的两个非零向量，当且仅当时取等号，即，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，当取最大值时，与夹角为.故答案为：.35（2021上海格致中学高三期中）已知向量，满足，则的最大值为_.【答案】【分析】先求得、，进而平方，计算即得结论【详解】设向量的夹角为，则，令，则，据此可得：，即的最大值是故答案为：.36（2021河南高三月考（理）已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是_.【答案】【分析】根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解.
29、【详解】如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：，设动点，则由得，化简得出满足，令.则，所以的最大值为.故答案为：16.37（2021浙江模拟预测）平面向量满足：的夹角为，则的最大值为_.【答案】#【分析】设，线段的中点为，将转化为，求出的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），求出的最大值，进一步求出的最大值即可求解.【详解】设，则有，设线段的中点为，则，则，因为，所以的外接圆的直径，所以点的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），记圆心为，当在圆上时，此时（不能与重合），所以，当不在圆上时， ，又，所以，所以，所以，所以，故的最大值为.故答案为：38（2019浙江诸暨市教育研究中心
30、高三期末）已知，则的最大值=_.【答案】2【分析】由可得，化简结合三角函数即可求解【详解】由可得，即，要使，故，可得，又，故，当向量同向时，故答案为：239（2021陕西西安中学高三月考（文）如图，ABC中，为ABC重心，P为线段BG上一点，则的最大值为_.【答案】20【分析】延长交于，由为ABC重心，得为的中点，则可得，设，可得，分别把用基底表示，再由数量积的运算结合二次函数求最值可得的最大值【详解】延长交于，因为为ABC重心，所以为的中点，所以,设，因为P为线段BG上一点，所以，因为为ABC重心，所以，因为,，所以其对称轴为，所以当时，取得最大值20，故答案为：2040（2021浙江诸暨中
31、学高三月考）设，（），则（）的最小值为_.【答案】【分析】设，可得，是以为圆心，以为半径的圆上的动点，设，则在以为圆心，以为半径的圆上，所求的即为 即可求解.【详解】设，则，因为，所以，因为，所以是以为圆心，以为半径的圆上的动点，设，则，设，则在以为圆心，以为半径的圆上，设，则，故答案为：.41（2021湖南益阳市箴言中学高三月考）如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是_【答案】【分析】由向量的线性运算得，因此，只要求得的最大值即可，这可由基本不等式得结论【详解】解：因为为的中点，所以，从而.又为定值，再根据，可得，所以当且仅当时，即为的中点时，
32、等号成立，取得最小值是，故答案为：.42（2021重庆市第十一中学校高三月考）中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，的最小值为_ .【答案】【分析】利用向量共线的推论可得，再由，利用基本不等式即可求解.【详解】由，所以，又因为三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.43（2021浙江省三门中学高三期中）已知平面向量，满足，则的最小值是_.【答案】【分析】根据已知条件求得即，当时即可取得最小值.【详解】由可得：，由可得：，所以，可得，所以当时，故答案为：.44（2021山东德州高三期中）如图，梯形中，若点为边上的动点，则的最小值是_.【答案】#【分析】以为坐标原
33、点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：，设，,，则，解得，点为边上的动点，设 ，当时，取得最小值，代入可得的最小值是.故答案为：45（2021浙江学军中学高三期中）如图，已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，则的最小值为_.【答案】#【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值乘转换成求三角函数的最值即可【详解】解：已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，以圆心为原点，垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则：，由题设：，；则其中；所以，当时，则的最小值为；故答案为：46（2022全国高三专题练习）点为所
34、在平面内一点，若的面积为，则的最小值是_【答案】【分析】在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率， 利用直线与半圆相切，即可求解.【详解】在中，设角对的三边分别为， 由，又由，可得且，解得，因为的面积为，所以，可得，由，可得，设，其中因为表示点与点连线的斜率， 如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，在直角中，可得，所以斜率的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.四、解答题47（2021山东菏泽二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目
35、标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中， ， 均为常数，为自然对数的底数令，经计算得如下数据：，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.
36、01）附：相关系数r回归直线中：，参考数据：，【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）；（3）亿元【分析】（1）分别计算两个函数模型的相关系数和，比较和的大小关系即可判断；（2）由得，即，根据最小二乘法求和的值，即可求解；（3）将代入（2）中的回归方程即可求解.【详解】（1）为了判断两个函数模型：；，拟合程度，只需要判断两个函数模型，拟合程度即可设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，显然，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，所以关于的线性回归方程为，即，所求回归方程为：，（3）若2021年盈利额为500亿元，即为，解得：，所以2021年的研发资金投入量约为亿元
