1、课时规范练45抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()A.2B.4C.2D.42.(2019全国2,理8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.83.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m4.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,l与x
2、轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AAl,垂足为A.若四边形AAPF的面积为14,且cosFAA=35,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD的中点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=26.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.23C.2
3、3D.2237.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则抛物线C的焦点到准线的距离为.8.过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则直线l的斜率为.9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则AMF的面积为.10.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点
4、且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.综合提升组11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.16313.已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处
5、的切线的交点为N.(1)若点N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.创新应用组14.(多选)如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线C2于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交椭圆C1于点A,B,连接AB,OMN与OAB的面积分别记为SOMN,SOAB,则下列说法正确的为()A.若直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2为定值-14B.SOAB为定值1C.|OA|2+|OB|2为定值5D.设=SOMNSOAB,则215.(2020河北衡水二模)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点M(
6、2,m)(m0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.参考答案课时规范练45抛物线1.Cx2=ay,p=a2=1,a=2.故选C.2.Dy2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8.故选D.3.D建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.4.C过点F作
7、FFAA,垂足为F.设|AF|=3x,因为cosFAA=35,所以|AF|=5x,|FF|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA|=5x,则|AF|=2x=p,故x=p2.四边形AAPF的面积S=(|PF|+|AA|)|FF|2=(p+52p)2p2=14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.5.ABC如图,点Fp2,0,直线l的斜率为3,则直线l的方程为y=3x-p2.由y2=2px,y=3(x-p2),得12x2-20px+3p2=0,解得xA=32p,xB=16p.由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.又xB=16p=13,所以|BF|=1
8、3+1=43,所以|BD|=43cos60=83,所以|BD|=2|BF|.因为|BD|+|BF|=83+43=4=|AF|,所以F为AD的中点.故选ABC.6.D设抛物线C:y2=8x的准线为l,则直线l的方程为x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).如图,分别过点A,B作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以B为线段AP的中点.连接OB,则|OB|=12|FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.因为k0,点B在抛物线C上,所以点B的坐标为(1,22).所以k=22-01-(-2)=223.故选D.7.4依题意,不妨设抛物
9、线C的方程为y2=2px(p0).由|AB|=42,|DE|=25,可取A4p,22,D-p2,5.设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,得16p2+8=p24+5,解得p=4.8.33设抛物线C的准线为m,分别过点A,N,B作AAm,NNm,BBm,垂足分别为A,N,B(图略).因为直线l过抛物线C的焦点F,所以|BB|=|BF|,|AA|=|AF|.又N为线段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN|=12(|BB|+|AA|)=12(|BF|+|AF|)=12|AB|=12|MN|,所以MNN=60,所以直线MN的倾斜角为120.又MNl,所以直线l的倾斜角为30,所以直线l的斜率为3
10、3.9.43设准线l与x轴交于点N,则|FN|=2.直线AF的斜率为-3,AFN=60,MAF=60,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,AMF是边长为4的等边三角形.SAMF=3442=43.10.2(方法1)由题意知抛物线C的焦点坐标为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=4k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.由
11、AMB=90,得MAMB=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,即1+2k2+4k2+1+(-4)-4k+1=0,解得k=2.(方法2)设抛物线的焦点为F,点A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,所以y12-y22=4(x1-x2),所以k=y1-y2x1-x2=4y1+y2.取AB的中点N(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A,B,又AMB=90,点M在准线x=-1上,所以|MN|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA|+|BB|).又N为AB的中点,所以MN平行于x轴,所以y0=1,所以y
12、1+y2=2,所以k=2.11.B由已知得抛物线C:y2=6x的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=12.所以|AB|=x1+32+x2+32=8.故选B.12.C设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为y1+y22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=3(|
13、AF|2+|BF|2)-2|AF|BF|8|AF|BF|6|AF|BF|-2|AF|BF|8|AF|BF|=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当AFB最大时,AFB为等边三角形,ABx轴.不妨设此时直线AD的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.13.解设直线AB:y=kx+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y=x
14、p,则抛物线C在点A,B处的切线斜率的乘积为x1x2p2=-2p.因为点N在以AB为直径的圆上,所以ANBN,所以-2p=-1,解得p=2.(2)由题意得直线AN:y-y1=x1p(x-x1),直线BN:y-y2=x2p(x-x2),由y-y1=x1p(x-x1),y-y2=x2p(x-x2),解得x=pk,y=-1,即点N(pk,-1).因为|AB|=1+k2|x2-x1|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24p2k2+8p,点N到直线AB的距离d=|pk2+2|1+k2,所以ABN的面积SABN=12|AB|d=p(pk2+2)322p,当k=0时取等号.因为ABN的面积的最小
15、值为4,所以22p=4,解得p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.14.ABCD由已知得点F(0,1),直线MN的斜率一定存在.设直线MN的方程为y=kx+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以k1k2=y1y2x1x2=-14.故A正确.设直线OA的方程为y=mx(m0),则直线OB的方程为y=-14mx.由y=mx,x24+y2=1,得x2=41+4m2,由题图知点A在第三象限,则点A-21+4m2,-2
16、m1+4m2,同理点B-21+14m2,12m1+14m2,即点B-4m1+4m2,11+4m2,所以点A到直线OB的距离d=21+4m2+8m21+4m21+16m2=2+8m21+4m21+16m2,|OB|=16m21+4m2+11+4m2=16m2+11+4m2,所以SOAB=12|OB|d=1216m2+11+4m22+8m21+4m21+16m2=1.故B正确.因为|OA|2=41+4m2+4m21+4m2=4+4m21+4m2,|OB|2=16m2+11+4m2,所以|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=5.故C正确.由y=mx,x2=4y,得x(x-4m)=0,解得x
17、=0或x=4m,故点N(4m,4m2),所以|ON|=4mm2+1.同理点M-1m,14m2,所以点M到直线OA的距离h=|-1-14m2|m2+1=1+14m2m2+1.所以SOMN=12|ON|h=2m+12m2,当且仅当2m=12m,即m=12时,等号成立.又SOAB=1,所以=SOMNSOAB=SOMN2.故D正确.故选ABCD.15.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+p2=2.又点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.由解得p=2,m=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明当x0=0,即点P为原点时,显然符合;当x00,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=x24,则y=12x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为12x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0).又x02=4y0,所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-2x0x.由y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.因为x02=4y0,所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y00,可知y=0,即垂足必在x轴上.综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.
