1、专题强化练1数学文化背景下的空间几何体问题一、选择题1.()算数书竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V7264L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.3551132.(2021黑龙江哈尔滨高一上期末,)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三
2、棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA垂直于平面ABC,PA=AB=2,AC=22,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.12B.16C.20D.243.(2021河南省实验中学高三模拟,)斗拱是中国古典建筑最富有装饰性的构件之一,并为中国所特有,图1是斗拱实物图,图2是斗拱构件中“斗”的几何体,本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成的.若棱台两底面的面积分别是400 cm2,900 cm2,高是9 cm,长方体形凹槽的高是12 cm,斗的密度是0.50 g/cm3,那么这个斗的质量是()A.3 9
3、90 gB.3 010 gC.6 900 gD.6 300 g4.(多选)(2021江苏南通高二月考,)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是()A.沙漏中细沙的体积为102481 cm3B.沙漏的体积是128 cm3C
4、.细沙全部漏入下部后此圆锥形沙堆的高度约为2.4 cmD.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(3.14)5.()中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,九章算术注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高乘之,六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()A.392B.752C.39D.601
5、8二、填空题6.(2021海南高三一模,)粽子古称“角黍”,是中国传统的节庆食品之一,由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同,粽子的形状和味道也不同,某地流行的“五角粽子”,其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥,现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄,蛋黄的形状近似地看成球,则当这个蛋黄的体积最大时,其半径与正四棱锥的高的比值为.7.()如图为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底
6、面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器表面积的最小值为30,则正四棱柱的高为.专题强化练1数学文化背景下的空间几何体问题1.A2.A3.C4.AC5.B一、选择题1.A依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13r2h7264L2h=7264(2r)2h,解得227.故选A.2.A如图,在长方体中作出符合条件的三棱锥P-ABC.由AB=2,AC=22得BC=2,所以外接球球O的半径R=AB2+BC2+PA22=3,则球O的表面积S=4R2=12.3.答案C信息提取斗是由棱台与长方体形凹槽构成的;凹槽是由长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体构成
7、的;斗的密度是0.50 g/cm3.数学建模本题以中国古典建筑最富有装饰性的构件之一“斗”为出题背景,以几何体“斗”的质量为载体,考查几何体“斗”的体积的运算,同时也跨学科考查了质量、密度与体积之间的关系.解析由题意可知,棱台的体积V1=13(400+900+400900)9=5 700(cm3),设长方体的长为x cm,宽为y cm,则xy=900 cm2,所以长方体形凹槽的体积V2=12xy-3xy=9xy=8 100(cm3),所以斗的体积为5 700+8 100=13 800(cm3),因此斗的质量为13 8000.50=6 900(g).故选C.4.AC由题图可知设圆锥的高为h.A.
8、易知细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径r=234=83(cm),所以细沙的体积V=13r223h=13649163=102481(cm3),故A正确;B.沙漏的体积V=213h22h=213428=2563(cm3),故B错误;C.设细沙全部漏入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变,可知102481=13h22h1,解得h12.4 cm,故C正确;D.因为细沙的体积为102481 cm3,沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,所以一个沙时为1024810.021 985秒,故D错误.故选AC.5.B设下底面的长为x92x9,则下底面的宽
9、为18-2x2=9-x.因为上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=163(32+x)2+(2x+3)(9-x)=-x2+17x2+392,易知当x=92时,“刍童”的体积取得最大值,最大值为-922+92172+392=752.故选B.二、填空题6.答案3-12解析球(蛋黄)的体积要达到最大,则需要球与正四棱锥五个面都相切,正四棱锥的高h=82-(42)2=42 (cm),设球的半径为r cm,所以正四棱锥的体积V=13843124+64r=136442,解得r=22(3-1),则rh=3-12.故答案为3-12.7.答案5解析取鲁班锁的一组几何体(长、宽、高分别为2,1,h的长方体)放入球形容器中,其中h为四棱柱的高,该长方体的外接球半径R=1222+12+h2,据此可得S=4R2=(22+12+h2)=30,解得h=5,即正四棱柱的高为5.
