1、2020届高三数学下学期3月线上自主联合检测试题 文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意解得,根据交集定义即可求得结果.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查交集的运算,难度容易.2.已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 的虚部为B. C. 的共轭复数D. 为纯虚数【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,即可求得结果.【详解】,的虚部为,.故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.3.太阳
2、能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为，中位数为，则（ ）A. 19.5B. 2C. 21D. 11.5【答案】D【解析】【分析】根据众数与中位数的概念即可求出值.【详解】由题意可知众数为,中位数为,所以.故选:D.【点睛】本题考查了众数和中位数的概念,难度容易.4.若双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】设双曲线的右顶点为,一条渐近线方程为,即,运用点到直线的距离公式和离心率公式,计算即可得到所求值.【详解】设双曲线的右顶点为,一条渐近线方程为,即,由题意可得
3、,则,由可得所以.故选:C【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线离心率的问题,难度较易.5.已知向量，若，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由,可得,再利用坐标运算求出.【详解】,由,可得,解得,则,故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.6.已知且，则是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由对数不等式的解法得: 即为“且”或“且”,由充分必要条件定义即可得出结论.【详解】由得:“且”或“且”,当且时不成立,故充分性不成立;当时,例如,则,故必要性不成立.故选:
4、D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断,考查学生的逻辑推理能力,难度较易.7.人们在研究植物的生长过程中发现，某一种树苗的生长规律为：树苗在第一年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律生长，则第7年的枝条数可以达到（ ）条A. 64B. 34C. 21D. 13【答案】D【解析】【分析】由题意可知第1年为1条,由于新枝一年后成长为老枝,第2年为1条, 设第年树枝数为,从开始,其树枝条数有,依次计算即可求得结果.【详解】每年的树枝数由老枝和新枝组成.设第年树枝数为，并且，从开始，其树枝条数有，每年的树枝数有：
5、1，1，2，3，5，8，13，故第7年共有13条树枝.【点睛】本题考查数列的递推关系,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度一般.8.已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（ ）A. 2B. 1C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知是函数的最小值,是函数的最大值,则的最小值就是函数的半周期.【详解】对任意的,成立,所以,所以,又的周期,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大9.如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）A. 12B. 13C. D. 15【答案】C
6、【解析】【分析】将三棱柱展开两次如图,不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【详解】将正三棱柱沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示，在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于,宽等于5,由勾股定理.故选:C.【点睛】本题考查棱柱的结构特征,空间想象能力,几何体的展开与折叠,体现了转化(空间问题转化为平面问题,化曲为直)的思想方法.10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的
7、“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（ ）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】C【解析】【分析】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为,(),分别求出大正方形和小正方形的面积,再利用几何概型概率公式求解即可.【详解】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为,(),则,小正方形的面积为,所以飞镖落在区域1的概率为,则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是,故选:C.【点睛】本题考查几何概型概率的求法,解题关键是求出两正方形
8、的面积比,难度不大.11.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求得,进而可求得代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】，,因为，所以，从而的面积为.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.12.已知，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出为奇函数,且在R上单调递增,将所求不等式利用函数性质转化
9、为利用单调性解得答案.【详解】由得所以函数为奇函数,又因为 故在R上单调递增,则不等 ,即解得:.所以不等式的解集为.故选:A.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性,单调性,根据函数性质解不等式,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.若，则_【答案】【解析】【详解】因为，由二倍角公式得到 ，故得到 故答案为14.已知实数满足约束条件，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域,如图: 解得将变形为平移直线由图可知当
10、直线经过点时,直线在轴上的截距最小,有最小值为,当直线经过点时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为所以的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.15.已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球的体积等于_.【答案】【解析】【分析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径,从而可求球的体积.【详解】由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,该四棱锥的表面积等于,设球的半径为,则如
11、图,该四棱锥的底面边长为,则有.球的体积是.故答案:.【点睛】本题考查球内接多面体及球的体积,解题的关键是确定球的半径,再利用公式求解,难度一般.16.已知曲线：，曲线：，（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数_；（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】(1)由已知分别求出曲线在处的切线的斜率及曲线在处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得的值;(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线斜率为,再求出过曲线上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.【详解】(1),则曲
12、线在处的切线的斜率,在处的切线的斜率,依题意有,即;(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线的斜率为,而过上一点处的切线的斜率,依题意必有,解得,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列
13、,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前项和,难度不大.18.随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国.移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展.某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关
14、注进行了问卷调查，并对参与调查的同学的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女合计对移动支付关注241236对移动支付不关注41014合计282250（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到对移动支付不关注的男生的概率是多少？（2）现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率.（3）根据表中的数据，能否有的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？参考公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1);(2);(3)答案见
15、解析.【解析】【分析】(1) 结合表格根据古典概型的概率公式计算概率即可;(2)由分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,女生应抽取2人,列出所有基本事件即可求得结果.(3)计算的观测值,对照表中数据得出统计结论.【详解】(1)由题知:对移动支付不关注的男生有4人,总数50人,所以.(2)依题意，分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,记为 女生应抽取2人,记为 ；从这6人中随机抽取2人，所有的情况为： 共15种,其中“至少有一人是女生”的情况有9中,记事件A,所以“2人中至少有1人是女生的概率” .(3)由题意可知,故有97.5%的把握认为消费者对移动支付
16、的态度与性别有关系.【点睛】本题考查了古典概型的应用问题,也考查了两个变量线性相关的应用问题,准确计算的观测值是解题的关键,难度较易.19.如图，在四棱锥中，底面直角梯形，CD，平面，是棱上的一点. （1）证明：平面平面；（2）已经，若分别是的中点，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)证面面垂直只需证线面垂直,可通过求证,证得.(2)点到平面的距离可通过等体积法求得.【详解】(1)证明平面平面,所以,又所以平面,又平面,所以平面平面.(2)连接,在中,可得,则在中,可得,在直角梯形中,由已知可求得. ,. 分别是的中点,在等腰中,可求到平面的距离为,到平面的
17、距离为 设点到平面的距离为 , .【点睛】本题考查面面垂直的判定定理的应用,考查了点到面的距离,借助等体积转化是解决问题的关键,属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到abc的值，从而得到椭圆方程；（2）将向量模长的方程两边平方得到，即，即，联立直线和椭圆得到二次方程，带入韦达定理得到参数范围解析：（1）由已知得，解方程组得，椭圆的方程为，（2）假设存在这样的
18、直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为，由得，设，则，由得，即，即，故，代入（*）式解得或点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.设函数（其中，m，n为常数）（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（
19、1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.【详解】（1）当时，当时，对任意的都成立，在单调递增，要使得对有恒成立，则，解得：，即的取值范围为.（2），解得：，又，显然不是的零点，可化为，令，则，在，上单调递增.又，在，上各有个零点，在，上各有个零点，整数的取值为或，整数的所有取值的和为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点存
20、在定理确定零点所在区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，直线交曲线于，两点，求的值.【答案】（1）曲线普通方程，的直角坐标方程（2）【解析】【分析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】(1)已知曲线:(为参数),则曲线的
21、普通方程,直线的极坐标方程为,则的直角坐标方程;(2)直线参数方程为(为参数)代入曲线:,化简得,设,对应的参数分别为,则,所以.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.23.已知函数，.（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数，满足，试证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先将化为分段函数形式,然后根据,分别解不等式即可;(2)由(1)可得,从而得到,再利用基本不等式求出的最小值.【详解】(1).,或或,或或,不等式的解集为;(2)因为(当且仅当等号成立),所以的最小值,即,所以(当且仅当,等号成立).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.
