1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、A组1.函数f(x)=x+1x-1的定义域是()A.-1,1)B.-1,1)(1,+)C.-1,+)D.(1,+)解析:由x+10,x-10,解得x-1,且x1.答案:B2.(2016福建南安高一期末)已知M=x|-2x2,N=y|0y2,函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是()解析:A项中函数的定义域为-2,0,C项中对任一x都有两个y值与之对应,D项中函数的值域不是0,2,均不是函数图象.故选B.答案:B3.在下列函数中,值域为(0,+)的是()A.y=xB.y=1xC.y=1xD.y=x2+1解析:y=x的值域为0,+),y
2、=1x的值域为(-,0)(0,+),y=x2+1的值域为1,+).故选B.答案:B4.导学号29900026已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.x|x0C.x|0x5D.x52x0,x10-2x,x52.故此函数的定义域为x52x5.答案:D5.若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是()A.0,1B.0,1)C.0,1)(1,4D.(0,1)解析:由题意,得02x2,x-10,即0xa,则a12.故a的取值范围是12,+.答案:12,+7.若函数f(x)满足f(2x-1)=x
3、+1,则f(3)=.解析:令2x-1=3,则x=2,故f(3)=2+1=3.答案:38.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正常数,且f(f(-1)=-1,则a的值是.解析:f(-1)=a(-1)2-1=a-1,f(f(-1)=a(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.a3-2a2+a=0,a=1或a=0(舍去).故a=1.答案:19.求函数y=x+26-2x-1的定义域,并用区间表示.解:要使函数有意义,则x+20,6-2x0,6-2x1,解得x-2,x3,x52,即-2x3,且x52.故函数的定义域为x-2x3,且x52,用区间表示为-2,5252,3.10.导学号29900027已
4、知函数f(x)=1+x21-x2.(1)求f(x)的定义域;(2)若f(a)=2,求a的值;(3)求证:f1x=-f(x).(1)解:要使函数f(x)=1+x21-x2有意义,只需1-x20,解得x1,所以函数的定义域为x|x1.(2)解:因为f(x)=1+x21-x2,且f(a)=2,所以f(a)=1+a21-a2=2,即a2=13,解得a=33.(3)证明:由已知得f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1,-f(x)=-1+x21-x2=x2+1x2-1,所以f1x=-f(x).二、B组1.下列对应关系是从A到B的函数的个数为()(1)A=-1,1,B=0,f:xy=0;(2)A=1
5、,2,3,B=甲,乙,对应关系如图所示;(3)A=1,2,3,B=4,5,6,对应关系如图所示.A.1B.2C.3D.0解析:(1)对于集合A中的任意一个实数x,按照对应关系f:xy=0,在集合B中都有唯一确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数;(2)集合B不是数集,故不是A到B的函数;(3)集合A中的元素3在B中没有对应元素,且A中的元素2在B中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.综上可知,对应关系(1)是A到B的函数,故选A.答案:A2.下列各组中的两个函数表示同一函数的是()A.f(x)=x+1x-1与g(x)=(x+1)(x-1)B.f(x)=(2x-5)2与g(x)=
6、2x-5C.f(x)=1-xx2+1与g(x)=1+xx2+1D.f(x)=(x)4x与g(t)=tt2解析:A中,f(x)=x+1x-1的定义域为x|x1,g(x)=(x+1)(x-1)的定义域为x|x1,或x-1,它们的定义域不相同,它们不表示同一函数;B中,f(x)=(2x-5)2的定义域为xx52,g(x)=2x-5的定义域为R,定义域不同,它们不表示同一函数;C中,f(x)=1-xx2+1与g(x)=1+xx2+1的对应关系不同,它们不表示同一函数;D中,f(x)=(x)4x=x(x0)与g(t)=tt2=t(t0)的定义域与对应关系都相同,它们表示同一函数.答案:D3.已知周长为定
7、值a的矩形,若它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是()A.(a,+)B.a2,+C.a2,aD.0,a2解析:根据题意知,矩形的另一边长为a-2x2=a2-x,由x0,a2-x0,得0xa2.故这个函数的定义域为0,a2.答案:D4.如果函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么它的值域为.解析:由题意可知,当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-4=0;当x=3时,y=9-6=3,所以函数的值域为-1,0,3.答案:-1,0,35.若f(x)=5xx2+1,且f(a)=2,则a=.解析:由f(a)=5aa2+1=2,得2a2-5a+2
8、=0,解得a=12或a=2.答案:12或26.已知函数f(x)的定义域为0,3,则函数f(3x+6)的定义域是.解析:由03x+63,得-2x-1,故所求的定义域为-2,-1.答案:-2,-17.导学号29900028已知函数f(x)=x2-2x,x0,b,且该函数的值域为-1,3,求b的值.解:作出函数f(x)=x2-2x(x0)的图象如图所示.由图象结合值域-1,3可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-10,b,所以b=3.8.导学号29900029已知函数f(x)=x2+1,xR.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值;(2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明.解:(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-(-1)2+1=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-(-2)2+1=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-(-3)2+1=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意xR,有f(x)-f(-x)=0.证明如下:因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以对任意的xR,总有f(x)-f(-x)=0.
