1、易错点 5 基本初等函数一、单项选择题1.形如=|(0,0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧函数”.若函数()=2+1(0，且 1)有最小值，则=1，=1时的“囧函数”图象与函数=log|图象的交点个数为()A.1B.2C.4D.62.形如=|(0,0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()=2+1(0且 1)有最小值，则当=1,=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1B.2C.4D.63.若集合=|=4，=|log3 2，则 =()A.(0,9B.4,9C.4,6D.0,94.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一
2、个数的首位数字是(=1,2，9)的概率为lg(1+1)，这被称为本特福定律以此判断，一个数的首位数是 1 的概率约为()A.10B.11C.20D.305.已知集合=|log2(1)2，=|2 2，命题:若 中，=5,=8,=7，则 =20，则下列命题正确的是()A.B.()C.()D.()()二、多项选择题9.如果一个函数()在其定义区间内对任意 x，y 都满足(+2)()+()2，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是()A.()=2B.C.()=log2(0)D.()=,02,010.下列判断中错误的是()A.函数=2+1是指数函数；B.函数=2 2019+2019 2既是偶函数
3、又是奇函数；C.函数=1的单调递减区间是；D.11.若1 1 logB.|log+log|2C.(log)2|log+log|三、填空题12.已知正数 a，b，c 满足4 2+25=0，则当 a 与 c 满足_关系时，lg +lg 2 的最大值为_13.函数的零点个数为_14.若2+22=0，则2+3+22+2=_；15.设 x，1，1，若=3,+=63则1+1的最大值为_四、解答题16.已知函数()=log4(2 2+4)()当=1时，求函数()在12,2上的值域；()若函数()在(4,+)上单调递增，求实数 m的取值范围17.设函数()=2+(1)2()是偶函数，(1)求不等式()52的解
4、集；(2)设函数()=()21 (2)2，若()在 1,+)上有零点，求实数 n 的取值范围18.已知函数()=log3(+)的图像经过点(2,1)和(5,2)，=+()(1)求；(2)设数列的前 n 项和为，=2(+2)+2，求的前 n 项和19.设函数()=(0且 1)是定义域为 R 的奇函数，(1)=32()若(2+2)+(4)0，求 m 的取值范围；()若()=2+2 2()在1,+)上的最小值为2，求 m 的值20.已知函数()=(其中 a，b 为常量，且 0，1)的图象经过点(1,6)，(3,24)(1)求()的表达式；(2)若不等式(1)+(1)0，在 (,1时恒成立，求实数 m
5、 的取值范围已知数列的前 n 项和为，满足2=2，4=16，+1是等比数列，(1)求数列 MQ 的通项公式；(2)若 0，设=log2(3+3)，求数列1+1的前2(+2)16 2=0项和一、单项选择题1.形如=|(0,0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧函数”.若函数()=2+1(0，且 1)有最小值，则=1，=1时的“囧函数”图象与函数=log|图象的交点个数为()A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】当=1，=1时，=1|1.而()=2+1(0，且 1)有最小值，故 1令()=log|(1)，()=1|1，在同一坐标系中作出它们的大致图象如图所示，共 4 个不
6、同的交点，故选 C2.形如=|(0,0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()=2+1(0且 1)有最小值，则当=1,=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】函数()=2+1(0,1)有最小值，1，当=1,=1时，=|=1|1，画出函数=1|1与=log|的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有 4 个故选 C已知log13 log13 0，则,的取值范围是()A.1 B.1 C.0 1D.0 0，即0 1故选 C3.若集合=|=4，=|log3 2，则 =()A.(0,9B.4,9C.4,
7、6D.0,9【答案】A【解析】因为集合=|=4=|0，=|log3 2=|0 9，所以 =|0 9=(0,9故选 A4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是(=1,2，9)的概率为lg(1+1)，这被称为本特福定律以此判断，一个数的首位数是 1 的概率约为()A.10B.11C.20D.30【答案】D【解析】根据题意，一个数的首位数是 1 的概率为lg 2，而14=log162 lg2 log82=13，故选 D5.已知集合=|log2(1)2，=|2 +1，若 =，则实数m 的取值范围为()A.(3,4)B.3,4C.(,3)(4,+)D.(,3 4,+)【答案】B【解析】
8、依题意，=|log2(1)2=|0 1 4=|1 5，因为 =，即 ，解得 2 1,1+5.故3 4，故选 B6.若函数()=log12(2+2 2)在区间(1,32)单调递减，则 a 的取值范围是()A.32,+)B.(32,+)C.32,74D.(32,74)【答案】C【解析】()=log12(2+2 2)在(1,32)单调递减，即=2+2 2在(1,32)是单调递增且0 0时取等号令+=(0)，则+3 24 化为2 4 12 0，解得 6或 2 0，取 6故选 A8.已知命题:,3 2，命题:若 中，=5,=8,=7，则 =20，则下列命题正确的是()A.B.()C.()D.()()【答
9、案】B【解析】命题，由指数函数图像及其性质可得，当 0时，3 0)D.()=,3(3+1)4，即()+()212 log284=12，即()+()2 (+2)，因此 C 不是下凸函数；对于 D、函数()的定义域为 R，,(,0)，则+2 (,0)，()+()2=12(+)=+2，而(+2)=+2，即()+()2=(+2)(,0)，0,+),()+()2=12(+2)=+22，而1)当+2 0时，(+2)=+2+22，即()+()2 (+2)2)当+2 0时，(+2)=2+2=2+22+22，即()+()2 (+2)；,0,+)，则+2 0,+),()+()2=12(2+2)=+，而(+2)=2
10、+2=+，即()+()2=(+2)综上所述，D 是下凸函数故选 AD10.下列判断中错误的是()A.函数=2+1是指数函数；B.函数=2 2019+2019 2既是偶函数又是奇函数；C.函数=1的单调递减区间是；D.【答案】AC【解析】对于 A，由指数函数的定义可知，错误；对于 B，使式子有意义得2=2019，=0，既是奇函数又是偶函数，正确；对于 C，函数=1在整个定义域上不单调，错误；对于 D，空集是任何集合的子集，正确故选 AC11.若1 1 logB.|log+log|2C.(log)2|log+log|【答案】ABC【解析】解法一：(常规做法)，0 1，0 log log，故 A 正
11、确由基本不等式得：log+log 2=2，故 B 正确 0 (log)2 1，故 C 正确|log|+|log|=|log+log|，故 D 错误解法二：(特殊值代入法)，0 0恒成立，只有当=3时，ln(2)=0，所以()在2,+)上只有一个零点，故答案为 114.若2+22=0，则2+3+22+2=_；【答案】52,15【解析】2+22=0，()2+2=0，解得：=1或2，当=1时，原式=()2+3+1()2+1=1+3+11+1=52；当=2时，原式=46+14+1=15故答案为：52,1515.设 x，1，1，若=3,+=63则1+1的最大值为_【答案】3【解析】1，1，=3，=3，1
12、+1=3+3=lg()3 lg(+2)23=lg(33)23=3，当且仅当=33时取等号1+1的最大值为 3故答案为 3四、解答题16.已知函数()=log4(2 2+4)()当=1时，求函数()在12,2上的值域；()若函数()在(4,+)上单调递增，求实数 m 的取值范围【答案】解：()当=1时，函数()=4(2 2+4)，12,2上，令=2 2+4，最小值为1 2+4=3，最大值为4 4+4=4，故函数()在12,2上的值域为43,1()若函数()在(4,+)上单调递增，因=log4在(0,+)上单调递增，令=2 2+4在(4,+)上单调递增，故有 01 416 8+4 0，求得 25，
13、故要求的实数 m 的取值范围为25,+)17.设函数()=2+(1)2()是偶函数，(1)求不等式()52的解集；(2)设函数()=()21 (2)2，若()在 1,+)上有零点，求实数 n 的取值范围【答案】解：(1)因为()是偶函数，所以()=()恒成立，即2+(1)2=2+(1)2恒成立也即(2)(22 1)=0恒成立，所以=2，由()=2+2 52得，2 22 5 2+2 0，解得2 2，即 1，所以不等式()52的解集为|1(2)()=()21 (2)2=(2+2 21)22 22 2=(2 2)(22+22)2在 1,+)上有零点，即为(2 2)(22+22)2=0在 1,+)上有
14、解因为 1,+)，所以2 2 0，所以条件等价于=(22+22)+222在 1,+)上有解，令=2，则 2，令=1，则 u 在 2,+)上单调递增，因此 32，=2+4 设()=2+4=+4，()在2,+)上单调递增，在32,2上单调递减，所以函数()在=2时取得最小值，且最小值(2)=4，所以()4,+)，从而满足条件的实数 n 的取值范围是4,+)18.已知函数()=log3(+)的图像经过点(2,1)和(5,2)，=+()(1)求；(2)设数列的前 n 项和为，=2(+2)+2，求的前 n 项和【答案】解：(1)由题意得3(2+)=13(5+)=2，解得=2，=1，所以=2 1，；(2)
15、由(1)易知数列为以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以=+(+1)2 2=2，所以=2(+2)+2=1 1+2+2前 n 项和=(1 13+12 14+13 15+1 1+2)+(2+4+2)=32 1+1 1+2+2(12)12=2+1 2+3(+1)(+2)1219.设函数()=(0且 1)是定义域为 R 的奇函数，(1)=32()若(2+2)+(4)0，求 m 的取值范围；()若()=2+2 2()在1,+)上的最小值为2，求 m 的值【答案】解：()由题意，得(0)=0，即 1=0，解得=1，由(1)=32，得 1=32，解得=2，=12(舍去)，所以()=2 2为奇函数且是 R
16、 上的单调递增函数由(2+2)+(4)0，得(2+2)(4 )，所以2+2 4 ，解得 1所以 m 的取值范围为(,4)(1,+)()()=22+22 2(2 2)=(2 2)2 2(2 2)+2，令=2 2，由 1 所以 21 21=32，所以=2 2+2，对称轴=，(1)32时，=2 22+2=2，解得=2，(2)32(舍去)，所以=220.已知函数()=(其中 a，b 为常量，且 0，1)的图象经过点(1,6)，(3,24)(1)求()的表达式；(2)若不等式(1)+(1)0，在 (,1时恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】解：(1)因为()的图象过(1,6)，(3,24)，则 =6,
17、3=24.所以2=4，又 0，所以=2，则=3.所以()=3 2；(2)由(1)知=2，=3，则 (,1时，(12)+(13)0恒成立，即 (12)+(13)在 (,1时恒成立，又因为=(12)与=(13)均为减函数，所以=(12)+(13)也是减函数，所以当=1时，=(12)+(13)有最小值56所以 56，即 m 的取值范围是(,5621.已知数列的前 n 项和为，满足2=2，4=16，+1是等比数列，(1)求数列 MQ 的通项公式；(2)若 0，设=log2(3+3)，求数列1+1的前2(+2)16 2=0项和【答案】解：(1)设等比数列+1的公比为 q，其前 n 项和为，2=2，4=16，2=4，4=20，易知 1，(1+1)(12)1=4，(1+1)(14)1=20，由 得：1+2=5，解得=2，当=2时，1=13；当=2时，1=5，+1=43 21，或+1=4 (2)1，即=2+13 1，或=(2)+1 1；(2)0，=2+13 1，=log2(3+3)=+1，1+1=1(+1)(+2)=1+1 1+2，数列1+1的前 n 项和=12 13+13 14+1+1 1+2=12 1+2=2(+2)
