1、课时作业52证明、最值、范围、存在性问题 基础达标12019全国卷已知曲线C:y,D为直线y上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积解析:(1)设D,A(x1,y1),则x2y1.由yx,所以切线DA的斜率为x1,故x1.整理得2tx12y110.设B(x2,y2),同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t,x1x21,y1y2t(x1x2)12t2
2、1.|AB|x1x2|2(t21)设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,由d1,d2.因此,四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点,则M.由于,而(t,t22),与向量(1,t)平行,所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时,S3;当t1时,S4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.22020江西五校协作体联考在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A,B两点,且椭圆M的离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)C,D为M上的两点,如四边形ABCD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值解析:(1)易知椭圆M的右
3、焦点为(,0),则c.离心率e,则a,故b2a2c23.所以椭圆M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn,C(x1,y1),D(x2,y2)由得3x24nx2n260,所以x1x2,x1x2.又直线CD的斜率为1,所以|CD|x2x1|.由已知得,四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.32020河北衡水测试如图,在平面直角坐标系xOy中,点F,直线l:x,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上
4、,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,|TS|是否为定值?请说明理由解析:(1)依题意知,R是线段FP的中点,且RQFP,RQ是线段FP的垂直平分线连接QF,点Q在线段FP的垂直平分线上,|PQ|QF|.又PQl,|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y22x.(2)|TS|为定值理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),点M到y轴的距离d|x0|x0,圆的半径r|MA|,则|TS|22,点M在曲线C上,x0,|TS|22,是定值42020湖南衡阳八中模拟已知过点P(0,2)的圆M的圆心在x轴的非负半轴上,且圆M截直线xy20所得弦长为2.(1
5、)求圆M的标准方程;(2)若过点Q(0,1)的直线l交圆M于A,B两点,求当PAB的面积最大时直线l的方程解析:(1)设圆M的方程为(xa)2y2r2(a0),则圆心M到直线xy20的距离等于.由题意得得所以圆M的方程为x2y24.(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx1,则圆心M到直线l的距离等于,所以|AB|2.又点P(0,2)到直线l的距离d,所以SPAB|AB|d33.因为k20,所以当k0时,PAB的面积取得最大值,且(SPAB)max3.此时直线l的方程为y10.52019安徽合肥二检已知抛物线C1:x22py(p0)和圆C2:(x1)2y22,倾斜角为45的直
6、线l1过C1的焦点,且l1与C2相切(1)求p的值;(2)动点M在C1的准线上,动点A在C1上,若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程解析:(1)依题意,设直线l1的方程为yx,因为直线l1与圆C2相切,所以圆心C2(1,0)到直线l1:yx的距离d,即,解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)解法一依题意设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,所以y,所以y,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率为k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0,则yxy112y1y1y1,即B点的坐标为(0,y1)所以(x1m,y13
7、),(m,y13),所以(x12m,6),所以(x1m,3),其中O为坐标原点设N点坐标为(x,y),则y3,所以点N在定直线y3上解法二设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,设直线l2的斜率为k,A,则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x.联立得,消去y,得x212kx12kx1x0.因为144k248kx14x0,所以k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0,得B点坐标为,所以,所以(x12m,6),所以(x1m,3),其中O为坐标原点,设N点坐标为(x,y),则y3,所以点N在定直线y3上62020湖南湘东六校联考已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,点
8、A(b,0),B,F分别为椭圆C的上顶点和左焦点,且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程(2)若过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点(G在M,H之间),设直线l的斜率k0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由解析:(1)由离心率e得a2c由|BF|BA|2,得a2,ab2.又a2b2c2,由可得a24,b23,椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0),由得(34k2)x216kx40,易得0,k.设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1x2,(x1x22m,k(x1x2)4
9、),(x2x1,y2y1)(x2x1,k(x2x1)菱形的对角线互相垂直,()0,(1k2)(x1x2)4k2m0,得m,即m,k,m0(当且仅当4k时,等号成立)存在满足条件的实数m,m的取值范围为.能力挑战72019全国卷已知点A(2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.()证明:PQG是直角三角形;()求PQG面积的最大值解析:(1)由题设得,化简得1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点(2)()设直线PQ的斜率为k,则其方程为ykx(k0)由得x.记u,则P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)于是直线QG的斜率为,方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG,yG),则u和xG是方程的解,故xG,由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG,即PQG是直角三角形()由()得|PQ|2u,|PG|,所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk,则由k0得t2,当且仅当k1时取等号因为S在2,)单调递减,所以当t2,即k1时,S取得最大值,最大值为.因此,PQG面积的最大值为.