1、 小题中的建系策略知识与方法空间向量这一强大工具，不仅可以用在立体几何大题中，近似流程化地计算线面角、二面角，在诸多小题中，建立空间直角坐标系，运用空间解析几何的方法，研究动点的轨迹，也能巧妙地解决问题.典型例题【例题】如下图所示，长方体中，点E、F分别在棱和上，且，则的长的取值范围为_.【解析】解法1：以A为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，则，由题意，可设，其中，则，因为，所以，显然，所以，且，因为，所以，结合解得：，即的长的取值范围为解法2：如图1，连接，因为平面，所以由三垂线定理可得等价于，将矩形单独画出来，并以为直径画圆与交于M、N两点，作于H，如图2，则当点E在线段上运动时，可以
2、使得满足的点F落在线段上，显然，所以，从而，即的长的取值范围为【答案】变式1如下图所示，长方体中，点E在矩形内（含边界），且，则的长的最小值为_.【解析】以A为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，则，可设，因为，所以，化简得：，所以点E的轨迹是矩形内以为圆心，3为半径的圆的一部分，如图2，设圆P与交于点M，显然当E与M重合时，取得最小值，由图可知，所以的长的最小值为3.【答案】3变式2如下图所示，长方体中，F在上，且，点E在矩形内（含边界），且，则的面积的最小值为_.【解析】以A为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，故，显然，所以，设，则，整理得：，所以点E的轨迹是矩形内的以为
3、圆心，为半径的圆的一部分，故当点E在如图2所示位置时，的面积最大，显然.【答案】4变式3如下图所示，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面，M为正方形内的一个动点，满足，则点M的轨迹的长为_.【解析】解法1：以中点O为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，则，设，因为，所以，整理得：，将平面单独画出来如图2，显然方程表示直线，其中G为的中点，易求得，所以点M轨迹的长为.解法2：要在正方形内寻找满足的点M，就是要过的中点E作与垂直的平面，找出该平面与平面的交线，如图2，取中点F，连接、，因为平面平面，所以平面，故，所以，又，即，故，又，所以，故平面，所以点M可以在上运动，易求得，
4、故点M的轨迹的长为.【答案】【反思】通过建立空间直角坐标系，利用解析几何的方法，翻译已知条件，研究动点轨迹，是一种重要的解题方法.强化训练1.（）如下图所示，在棱长为4的正方体中，点E、F分别在线和上，且，则的长的取值范围为（ ）A.B.C.D.【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则可设，其中，则，因为，所以，若，则，易求得，若，则方程可化为，因为，所以，结合可解得：，而，所以，综上所述，的长的取值范围为.【答案】B2.（）如下图所示，四棱锥中，底面是正方形，底面，点E是侧面内的动点，且满足，则的最小值为_.【解析】以A为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，则，设,因为，所以，化简
5、得：，显然平面的法向量为，点E在平面内是平面内的向量，所以，从而，结合可得，故，所以当时，取得最小值，此时点P的坐标为，满足点P在侧面内.解法2：取中点G，中点H，连接、，则，故A、G、H、D四点共面，易证，所以平面，从而平面为线段的中垂面，当且仅当点E在平面内时，才能满足，而平面侧面线段，所以点E的轨迹为线段，易求得，所以，设的边上的高为h，则，解得：，即的最小值为.【答案】3.（）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，点E在正方形内（含边界），且满足，则的面积的最小值为_.【解析】由题意，可以中点O为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，易求得，所以，设，因为，所以，整理得：，所以点E的轨迹是正方形内的以为圆心，为半径的圆的一部分，如图2，显然当点E为圆T与线段交点时，的面积最小，在中令可得：，所以.【答案】
