1、长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“存在一个无理数，它平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）A. B. C. D. 4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C. D. 5. “”
2、是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1）A. 1B. 3C. 5D. 77. 若
3、，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 函数有最小值211. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）A. B. C D. 12. 符号表示不超过的最大整数，如，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）A. B.
4、 当时，C. 函数的定义域为，值域为D. 函数是增函数奇函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知角第三象限，且，则_14. 函数的值域为_15. 已知函数的定义域为_16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_四、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染已知过滤过程中废气的
5、污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量若经过过滤后还剩余的污染物（1）求常数k的值；（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到）（参考数据：）18. 已知函数（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程19. 已知函数（1）当时；解不等式；（2）若，解关于x的不等式20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上动点，矩形内接于扇形记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用
6、电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）小王家第四季度用电，共交电费2065元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？22. 已知函数（且）是奇函数，且（1）求的值及的定义域；（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；（3）若，求t的取值范围长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（
7、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词否结论【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）A. B. C. D. 【答
8、案】D【解析】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
9、 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断由“”能否推出“”和由“”能否推出“”即得结果.【详解】“”不一定能推出“”，如，时，由“”推出“且”， ，所以则“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规
10、定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中
11、酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由展开计算正余弦值代入可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，而，.故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“
12、函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在同一个坐标系内作出和y=m,根据有三个交点，判断0m1，分析出的范围.详解】如图示，由的图像关于对称，知，而由，得：，所以.故选：C【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数
13、形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由时，可得可判断C，利用展开和0比即可判断D.【详解】设幂函数将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域
14、为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，即，所以C正确.当若时，.即成立，所以D不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误，属于中档题.10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 函数有最小值2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式可判断A，B，C正确；D中等号取不到，错误【详解】对于A，因为，所以，故，当且仅当时取等号，正确；对于B，因为，易知不等式显然成立，当时，当且仅当时取等号，正确；对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，而，所以，正确；对于D，当且仅当时取等号，而，所以函数没有
15、最小值，错误故选：ABC【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用诱导公式逐个验证即可得答案【详解】解：对于A，B，所
16、以A正确，B错误；对于C，所以C正确；对于D，因为，所以，所以D正确，故选：ACD12. 符号表示不超过的最大整数，如，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）A. B. 当时，C. 函数的定义域为，值域为D. 函数是增函数奇函数【答案】ABC【解析】【分析】将代入解析式，即可判断A项；当时，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.【详解】对于A项，则A正确；对于B项，当时，得出，则B正确；对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C正确；对于D项，函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了求函数值，解析
17、式，定义域，值域，判断函数的单调性以及奇偶性，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知角在第三象限，且，则_【答案】【解析】【分析】由和可求出的值【详解】解：因为，所以，即，因为，所以，得，因为角在第三象限，所以，故答案为：14. 函数的值域为_【答案】【解析】【分析】利用换元法求解，设，则，而，再利用在定义域内为减函数，可求出函数的值域【详解】解：设，则，因为，在定义域内为减函数，所以，即，所以函数的值域为，故答案为：15. 已知函数的定义域为_【答案】 .【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，即可求解，得到答案.【详解】由题意，要使得函数有意
18、义，则满足，解得，故函数定义域为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据函数解析式有意义，得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_【答案】2【解析】【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为，可得，根据函数的图象可知，解得即可得解.【详解】因为函数为偶函数，且有且仅有3个零点，所以必有一个零点为，所以，得，所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点，因为函数的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出是
19、解题关键.四、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量若经过过滤后还剩余的污染物（1）求常数k的值；（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到）（参考数据：）【答案】（1）（或
20、）；（2）【解析】【分析】（1）根据，即可解出k的值；（2）由（1）知，再解方程，即可求出时间【详解】（1）由已知得，当时，；当时， 于有，解得（或） （2）由（1）知，当时，有， 解得 故污染物减少到至少需要【点睛】本题主要考查指数函数和对数运算性质的应用，属于基础题18. 已知函数（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程【答案】（1）答案见解析；（2）调递减区间：，对称中心坐标：，对称轴方程：.【解析】【分析】（1）描点作图可得答案；（2）由正弦函数的单调递减区间、对称中心、对称轴方程可得答案.【详解】（1）列表：00300描点画
21、图（2）单调递减区间即； 由得对称中心坐标：； 由得对称轴方程：.19. 已知函数（1）当时；解不等式；（2）若，解关于x的不等式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得到，解出不等式，再解；（2）时，可以判断出，写出不等式的解集.【详解】（1）当时，由 得 由得 所以不等式的解集为 （2）由得， 不等式的解集为.【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)复合函数型不等式化用换元法解.20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形记，求当角取何值
22、时，矩形的面积最大？并求出这个最大值【答案】当时，矩形的面积，最大面积为.【解析】【分析】由题意可得，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值【详解】在中，在中，所以 所以 设矩形的面积为，则 由，得，所以当，即时，因此，当时，矩形的面积，最大面积为【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数
23、关系式；（2）小王家第四季度用电，共交电费206.5元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？【答案】（1）；（2）小王家10月，11月和12月分别用电.【解析】【分析】（1）根据题意可得当时，当时，从而可得答案.（2）先求出小王家10月用电量为，然后判断11月用电是否超过，然后设11月用电（），则12月用电，列式得出答案.【详解】（1）当时，； 当时，所以 （2）若每月用电量为，则费用为58元.10月份电费为493元，没超过58元，故10份用电少于，所以用电量为 若11月用电也超过，则11月和12月份的电费共为则第四季度共交电费元 这与
24、已知不符 所以11月用电不超过 设11月用电（），则12月用电由已知得：化简得 解得所以 小王家10月，11月和12月分别用电【点睛】关键点睛：本题考查分段函数模型的应用，考查函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是先判断出11月用电是否超过，然后设11月用电（），则12月用电，由已知得：，属于中档题.22. 已知函数（且）是奇函数，且（1）求的值及的定义域；（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；（3）若，求t的取值范围【答案】（1）， 定义域为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由是奇函数，可得，从而可得，进而可求出的值和定义域；（2）由（1）可得，则函数有零点，可转化为 有实数解，而，从而可得且，进而可得k的取值范围；（3）先利用单调性的定义证明在上单调递减，再利用奇函数的性质将由转化为，则有，从而可求出t的取值范围【详解】（1）由 得又是奇函数， 即 联立、并注意到 解得， 由 得的定义域为 （2），有零点，即关于的方程有实数解 有实数解 ， 且且的取值范围是 （3）先证明函数上单调递减设，则，即函数在上单调递减 由得 又是奇函数 所以的取值范围是【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数的性质和单调性的应用，考查函数的零点，考查利用函数的单调性解不等式，第3问中解题的关键是先判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将转化为，从而得，属于中档题
