1、第三章测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.答案A2.如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.(3,+)B.(-,-2)C.(-,-2)(3,+)D.(-6,-2)(3,+)答案D3.(2021贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2m+y24=1(m4
2、)的离心率为33,则椭圆C的长轴长为()A.6B.6C.26D.12解析由题意可知m-4m=33,解得m=6,即a=6,所以椭圆长轴长为26.答案C4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0p6)上一点,且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍,则p等于()A.1B.2C.32D.3解析由抛物线的定义及已知条件可得3+p2=23-p2,又0pb0)的两条渐近线夹角为,且tan =43,则其离心率为()A.52B.2或5C.5D.52或5解析双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的两条渐近线夹角为,且tan=43,一条渐近线的斜率为tan2,则2tan21-tan22=43,解
3、得tan2=12或tan2=-2(舍),e2=1+ba2=54,e=52(负值舍掉).答案A6.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解析设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=32p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案B7.如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴
4、,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.5解析将x=c代入双曲线的方程,得y=b2a,点M在第一象限,Mc,b2a.在MF1F2中,tan30=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3,e=-33(舍).答案B8.(2021河南郑州模拟)已知双曲线D:x2-y2=1,点M在双曲线D上,点N在直线l:y=kx上,l的倾斜角4,2,且|ON|2=cos21+cos2,双曲线D在点M处的切线与l平行,则OMN的面积的最大值为()A.3-54B.3-52C.3-2D.3-22解析由题意,不妨设M(x0,y0)在第一象限,则双曲线D在M处的切线方程为x0x-y0y=1,所以k=x0y
5、0,又因为x02-y02=1,联立k=x0y0,x02-y02=1,解得x0=kk2-1,y0=1k2-1.点M到直线l的距离d=|kx0-y0|1+k2=k2k2-1-1k2-11+k2=k2-1k2+1,因为|ON|2=cos21+cos2,所以|ON|=cos21+cos2=cos2sin2+2cos2=1k2+2,所以SOMN=12|ON|d=121k2+2k2-1k2+1=12k2-1k4+3k2+2,令t=k2-1,则k2=t+1,因为4,2,所以k1,所以t0,SOMN=12tt2+5t+6=121t+6t+5125+26=12(3+2)=3-22,当且仅当t=6t,即t=6时取
6、等号,即面积取到最大值3-22.答案D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线C的离心率等于()A.32B.23C.12D.2解析设圆锥曲线C的离心率为e,根据|PF1|F1F2|PF2|=432,若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=|F1F2|PF1|+|PF2|=34+2=12;若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=|F1F2|PF1|-|PF2|=34-2=32.综上,
7、所求的离心率为12或32.故选AC.答案AC10.(2021广东广州模拟)已知方程x2sin -y2sin 2=1,则()A.存在实数,使该方程对应的图形是圆,且圆的面积为43B.存在实数,使该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线C.存在实数,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线,且双曲线的离心率为2D.存在实数,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆,且椭圆的离心率为33解析对于A:若存在,只需sin=-sin20,即sin=-2sincos0,得cos=-12,所以sin=32,方程即为x2+y2=233,圆的半径满足r2=233,故圆面积为r2=233=233,故A错误;对于B:令s
8、in=0,则有sin2=2sincos=0,方程化为0=1,显然不成立,故B错误;对于C:取sin=sin20,由前面可知,sin0,所以cos=12,取=3,则方程为x2233-y2233=1,为等轴双曲线,故离心率为2,故C正确;对于D:将方程化为标准形式为x21sin+y2-1sin2=1,故a2=1sin0,b2=-1sin20,且1sin-1sin2,则由已知得1sin+1sin21sin=ca2=e2=13,整理得1+2cos2sincos2cos2sincos=1+12cos=13,解得cos=-34,又由上述三个不等式知sin0,cos-12,所以显然存在满足题意的的值,故D正
9、确.答案CD11.(2021山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是()A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45C.存在点P满足F1PF2=90D.若F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为5解析由椭圆方程可得:a=5,c=5,则F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;设点P的坐标为(m,n),则m225+n220=1,即n2=201-m225=45(
10、25-m2),则kPA1=nm+5,kPA2=nm-5,所以kPA1kPA2=n2m2-25=45(25-m2)m2-25=-45,故B正确;PF1=(-5-m,-n),PF2=(5-m,-n),若F1PF2=90,则PF1PF2=m2-5+n2=0,又n2=45(25-m2),联立可得15m2+15=0,方程无解,故C错误;SPF1F2=12|F1F2|yP|=1225|yP|=45,解得yP=4,代入椭圆方程可得xP=5,故D正确.答案BD12.(2021江苏南通模拟)设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是()A.若OAOB,则|OA|OB|2B.若OAOB,直线
11、AB过定点(1,0)C.若OAOB,点O到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=13,则|BF|=1解析对于A,设A(x1,x12),B(x2,x22).OAOB,OAOB=0,x1x2+(x1x2)2=0,x1x2(1+x1x2)=0,x2=-1x1,|OA|OB|=x12(1+x12)1x121+1x12=1+x12+1x12+12+2|x1|1|x1|=2,当且仅当x1=1时等号成立,故A正确;对于B,若OAOB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程y=kx+m,y=x2,消去y得x2-kx-m=0,设A(x1,y1),B(x2,y
12、2),x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=x12x22=(x1x2)2=m2,OAOB,OAOB=0,x1x2+y1y2=0,-m+m2=0,m=0或m=1,易知直线AB不过原点,m=1,直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;点O到直线AB的距离d=11+k2.k20,k2+11,d1,故C正确;对于D,直线AB过抛物线的焦点F0,14,设直线AB的方程为y=kx+14,联立方程y=kx+14,x2=y,消去y得x2-kx-14=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,x1+x2=k,x1x2=-14,|AF|=y1+14=13,y1=112
13、,x1=36,x2=-14x1=-32,y2=34,|BF|=y2+14=1,故D正确.答案ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知椭圆C:x23+y2=1,过C上一点P(第一象限)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B.若|PA|=1,则|PB|的值为.解析过点P作y轴的垂线,垂足为点Q,如图,设P(3cos,sin),A(a,0),|PA|=1,sin2+(3cos-a)2=1,得a=(3+1)cos,或a=(3-1)cos,3cos0)的离心率为52,则b=,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|=.解析因
14、为双曲线x24-y2b2=1(b0)的离心率为52,可得4+b22=52,则b=1,所以双曲线x24-y2=1的右焦点F(5,0),其中一条渐近线方程为x-2y=0,所以|AF|=51+22=1,所以|OA|=(5)2-12=2.答案1215.过点A(2,2)作直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=1相切,且交抛物线x2=2y于B,C两点,则直线BC的方程为.解析显然直线AB,AC的斜率存在且不为0,设过点A的圆的切线的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,圆的圆心坐标为(0,2),由直线与圆相切可得1=|2k|1+k2,可得k=33,不妨设直线AB的斜率为33,所以直线AB的
15、方程为y-2=33(x-2),设B(x1,y1),C(x2,y2),由直线AB的方程与抛物线的方程联立消去y,得x2-233x+433-4=0,解得x=233-2或x=2,即点B的横坐标x1=233-2,同理可得C的横坐标为x2=-233-2,所以直线BC的方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)=x222-x122x2-x1(x-x1)=x1+x22(x-x1),所以y-x122=x1+x22(x-x1),即y-233-222=-2x-233+2,整理可得直线BC的方程为6x+3y+4=0.答案6x+3y+4=016.(2021上海徐汇检测)如图,P为椭圆E1:x2a2+y2b2=1
16、(ab0)上的一动点,过点P作椭圆E2:x2a2+y2b2=(0b0),化简可得b2x02+a2y02=a2b2,则y02-b2=tx02-ta2,b2x02+a2y02=a2b2,化简得=12.答案12四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为37,求这两条曲线的标准方程.解设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1b10),双曲线的方程为x2a22-y2b22=1(a20,b20),c=13,由已
17、知,得a1-a2=4,ca1ca2=37,解得a1=7,a2=3,所以b12=36,b22=4,所以两条曲线的标准方程分别为x249+y236=1,x29-y24=1.18.(12分)已知抛物线y2=2px(p0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OAOB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=23.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,Ay124,y1,By2
18、24,y2,联立y2=4x,x=my+n,消去x得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OAOB=5,得(y1y2)216+y1y2=5,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).19.(12分)(2021广东东莞模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2F1F2,OHPF1,垂足为点H,OH=OF1,19,12.(1)当=13时,求双曲线的渐近线方程;(2)求双曲线的离心率e的取值范围.解如图,当x=c时,代
19、入双曲线方程可得y=b2a,由相似三角形可知,|OH|PF2|=|OF1|PF1|,得=b2a2a+b2a,2a2+b2=b2,整理得b2a2=21-.(1)当=13时,b2a2=1,则a=b,双曲线的渐近线方程为y=x.(2)|PF2|=b2a,e2=c2a2=1+b2a2=1+21-=1-2-1=-1-2-1在19,12上单调递增,=12时,e2的最大值为3,当=19时,e2的最小值为54,54e23,即52e3.故离心率的取值范围为52,3.20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐
20、标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意,得a2-b2a=22,又点(2,2)在C上,所以4a2+2b2=1,联立,可解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+y24=1.(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入x28+y24=1,整理得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,所以
21、kOMk=-12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式=(-8m)2-4(16m-16)=64m-122+340.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,所以直线l的方
22、程为2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,其中=(n+8)2-n2=16n+640,则n-4.(*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.22.(12分)从椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率;(2)设Q是椭圆上任一点,F2是
23、椭圆的右焦点,求F1QF2的取值范围.解(1)依题意知F1点坐标为(-c,0),不妨设M点坐标为(-c,y0)(y00).若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),则直线AB的斜率k=-ba.A点坐标为(a,0),B点坐标为(0,b)时,同样有k=-ba则有y0-c=-ba,y0=bca.又点M在椭圆x2a2+y2b2=1上,c2a2+y02b2=1.由得c2a2=12,ca=22,即椭圆的离心率为22.(2)当点Q与椭圆长轴的端点重合时,F1QF2=0.当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,设|QF1|=m,|QF2|=n,F1QF2=,则m+n=2a,|F1F2|=2c.在F1QF2中,cos=m2+n2-4c22mn=(m+n)2-2mn-2a22mn=a2mn-1a2m+n22-1=0.故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,当且仅当m=n时,等号成立,0cos1,又(0,),0,2.综上,F1QF2的取值范围是0,2.
