1、3.2.2 直线的两点式方程 1.直线的两点式、截距式方程【思考】(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.2.两点的中点坐标公式 点P(x,y)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x=1212xxyy,y.22【思考】如果已知点P(a,b)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),那么点P2的坐标是什么?提示:设点P2(x2,y2),由中点坐标公式:a=,b=,所以x2=2a-x1,y2=2b-y1,则点P2(2a-x1,2b-y
2、1).12xx212yy2【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程 表示.()112121yyxxyyxx(2)在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线方程为 =1.()(3)任何一条直线都有在x轴,y轴上的截距.()xyab【提示】(1).当x1=x2或y1=y2时,直线不能用方程 表示.(2).当a=0或b=0时,在x轴,y轴上的截距分别为a,b的 直线不能用方程 =1表示.(3).例如与x轴平行的直线只有在y轴上的截距.xyab112121yyxxyyxx2.直线 =1在y轴上的截距是()A.3 B.-3 C.4
3、D.-4 xy34【解析】选D.直线 =1即 =1在y轴上的截距是-4.xy34xy34 3.已知A(-5,4),B(3,-2),则线段AB的中点坐标为_.【解析】设线段AB的中点为M,其坐标为(x,y),又因为 A(-5,4),B(3,-2),则 即线段AB的中点坐标为(-1,1).答案:(-1,1)53x1242y12 ，类型一 直线的两点式方程【典例】1.经过A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程为()y3x2y3x2A.B.1 3421 342y3x2y3x2C.D.1 3421 342 2.(2019南京高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点(-1,0),(1
4、,4),则直线l的两点式方程是_.3.已知在ABC中,点A(-1,0),B(0,),C(1,-2),则AB边中线所在直线的两点式方程为_.3【思维引】1.判断是否符合直线的两点式方程的形式.2.根据直线的两点式方程公式写方程.3.先求出AB的中点,再写两点式方程.【解析】1.选D.由题意可得直线的两点式方程为 2.根据两点式方程可得 答案:y3x2.1 342 y0 x1.401 1y0 x1401 13.点A(-1,0),B(0,),中点D 所以AB边中线所在直线的方程为 答案:313(),22，y2x1.131222y2x1131222【内化悟】直线的两点式方程中,分子与分母有什么相同之处
5、?提示:方程两侧的分式中,分子分母的中间运算符号相同,算式的后一个因式相同.【类题通】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)差的顺序性:常会将x,y或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.提醒:已知两点坐标,求过这两点的直线方程也可以先求斜率,再代入点斜式得到直线的方程.【习练破】已知ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的两点式方程为_.【解析】由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两 点式可得直
6、线MN的方程为 答案:y4x2.2432y4x22432【加练固】(2019成都高一检测)已知直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方程为_.【解析】直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方 程为 答案:y 1x2.3 122y 1x23 122类型二 直线的截距式方程【典例】1.(2019武侯高一检测)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为()A.x-y+1=0或3x-2y=0 B.x+y-5=0 C.x-y+1=0 D.x+y-5=0或3x-2y=0 2.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若l的两截距之和为6,求直线l的方程.【思维引】
7、1.分截距等于0、不等于0两种情况分别求方程.2.利用已知条件设出截距式方程求截距,整理得方程.【解析】1.选A.过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距 互为相反数,当横截距a=0时,纵截距b=0,直线过点 P(2,3),(0,0),所以直线方程为 即3x-2y=0.当横 截距a0时,纵截距b=-a,直线方程为 =1,因为直 线过点P(2,3),所以直线方程为 =1,解得a=-1,所 以直线方程为-x+y=1,即x-y+1=0.综上,所求直线方程 为x-y+1=0或3x-2y=0.y3x2，xyaa 23aa 2.设直线l的横截距为a,则纵截距为6-a,l的方程为 =1,因为点(1,2)在直线
8、l上,所以 =1,即a2-5a+6=0.解得a1=2,a2=3.当a=2时,直线的方程为 =1,当a=3时,直线的方程为 =1,直线l都经过 第一、二、四象限,符合题意,综上知,直线l的方程为 xya6a12a6axy24xy33xyxy112433或【内化悟】设直线的截距式方程时需要注意什么问题?提示:需要注意直线的截距不能为0,如果不能确定,则分情况讨论.【类题通】直线的截距式方程在解题中的应用(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中,常设直线的截距式方程.(2)当直线与x轴、y轴平行,过原点时不能设截距式方程,可以利用点斜式等形式解题.【习练破】直线l过点P(1,3),且与
9、x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0【解析】选A.设所求的直线方程为:=1(a0,b0).因为过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所 围成的三角形面积等于6,所以 解得a=2,b=6,所以直线的截距式方程为 =1,故所求的直 线方程为:3x+y-6=0.xyab131ab1 ab62，xy26【加练固】直线l经过点A(-3,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,则直线l的方程是()A.2x+y+2=0 B.2x+y+2=0或4x+3y=0 C.x-2y+11=0 D.x-2y+11=0
10、或4x-3y=0【解析】选B.当直线经过原点时,直线方程为:y=-x,即4x+3y=0;当直线不经过原点时,设直线方程为 =1,把点A(-3,4)代入,得 =1,解得a=-1,所以直 线方程为 =1,即2x+y+2=0.43xya2a34a2a xy12类型三 直线方程的简单应用 角度1 图象的辨析【典例】(2019涪城高一检测)两条直线l1:=1和l2:=1在同一直角坐标系中的图象可以是 世纪金榜导学号()xyabxyba【思维引】根据图象中l1,l2的位置,确定截距的关系、符号,判断是否符合.【解析】选A.由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a,-b,直线l2的横、纵截距分别为b,-
11、a,选项A,由l1的图象可得a0,可得直线l2的截距均为正数,故正确;选项B,只有当a=-b时,才有直线平行,故错误;选项C,只有当a=b时,才有直线的纵截距相等,故错误;选项D,由l1的图象可得a0,b0,可得直线l2的横截距为正数,纵截距为负数,图象不对应,故错误.【素养探】在利用方程辨析函数的图象时,常常用到核心素养中的直观想象,需要根据直线的方程想象图象特征,根据图象特征得出直线的方程性质.若将本例中的条件变为“直线 =1的图象如图 所示”,则关于截距a,b的关系中一定正确的是 _.|a|b|;(b-a)(b+a)0;xyabab；11.ab【解析】由题图可知,a0,且|a|b|,正确
12、;-ab0,所以 ,正确;b-a0,b+a0,所以(b-a)(b+a)0,正确;0 ,错误.答案:ab 1a1b角度2 在几何图形中的综合应用【典例】已知直线l过点P(-2,1).世纪金榜导学号(1)当直线l与点B(-5,4),C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程.(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为 时,求直线l的方程.12【思维引】(1)首先分析直线与两点距离相等的情况,再分情况求直线方程.(2)设出截距式方程,利用截距表示出面积、直线过已知点列出方程组解题.【解析】(1)当直线lBC时,kl=kBC=所以直线l的方程为y-1=-(x+2)化为x+4y-2=0.421534
13、14当直线l过线段BC的中点时,由线段BC的中点为 M(-1,3),所以直线l的方程为y-1=(x+2),化 为2x-y+5=0.综上可知:直线l的方程为x+4y-2=0或 2x-y+5=0.1 321 (2)设直线l的方程为 =1.则 解得 所以直线l的方程为x+y+1=0或x+4y-2=0.xyab211ab11ab22，a2a11b1b2 或【类题通】求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程.(2)已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.(3)已知直线在两坐标轴上的截距时,通常选用截距式方
14、程.(4)已知直线上两点时,通常选用两点式方程.【发散拓】点P(a,b)关于直线y=x的对称点P的坐标是什么?关于直线y=-x的对称点P的呢?提示:点P(a,b)关于直线y=x的对称点P的坐标是(b,a);关于直线y=-x的对称点P的坐标为(-b,-a).【延伸练】已知ABC的一个顶点是A(3,-1),B,C的平分线方程分别为x=0,y=x.(1)求直线BC的方程.(2)求直线AB的方程.【解析】(1)因为B,C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.A(3,-1)关于x=0的对称点A(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A(-1,3)也
15、在直线BC上.由两点式,所求直线BC的方程:y=2x+5.(2)因为直线AB与直线BC关于x=0对称,所以直线AB与BC的斜率互为相反数,由(1)知直线BC的斜率为2,所以直线AB的斜率为-2,又因为点A的坐标为(3,-1),所以直线AB的方程为 y-(-1)=-2(x-3),即2x+y-5=0.【习练破】已知ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)求边AC和AB所在直线的方程.(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.(3)求AC边上的中垂线的方程.【解析】(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为 =1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在直线的 方程
16、为 即x+y-4=0.xy84y4x06420 ，(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得BD所在 直线的方程为 即2x-y+10=0.(3)由kAC=,得AC边上的中垂线的斜率为-2.又AC的 中点坐标为(-4,2),由点斜式,得AC边上的中垂线的方 程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.x4y26224 ，12【加练固】已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.【解析】直线AB的斜率kAB=过点A(-5,0),由点斜式得直线AB的方程为y=-(x+5),即3x+8y+15=0;同理,kBC=kAC=直线BC,AC的方程分 别为5x+3y-6=0,2x-5y+10=0.303358 ，38235,033 202,055
