1、3.2.2双曲线的简单几何性质A级必备知识基础练1.双曲线x29-y216=1的左顶点与右焦点间的距离为()A.2B.4C.5D.82.(2022天津一中高二期中)离心率为2的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程是()A.5xy=0B.xy=0C.x3y=0D.3xy=03.已知双曲线C的离心率为e=43,虚轴长为27,则其标准方程为()A.x24-y23=1B.x24-y23=1或x23-y24=1C.x29-y27=1或x27-y29=1D.x29-y27=1或y29-x27=14.双曲线C:x22-y2m=1(m0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,则双曲线C的离心率为
2、()A.2B.2C.4D.55.已知双曲线的方程为x2-y22=1,则下列叙述正确的是()A.焦点坐标为(1,0)B.渐近线方程为y=2xC.离心率为2D.实轴长为226.(多选题)(2022山西大同一中高二月考)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P是双曲线上一点,且双曲线的渐近线方程为y=43x,则下列结论正确的是()A.C的标准方程为x29-y216=1B.C的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为27.已知点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,则b=,顶点到渐近线的距离为.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为e=233,
3、过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点之间的距离为32,求此双曲线的标准方程.B级关键能力提升练9.(2022北京陈经纶中学高二期中)已知双曲线的一条渐近线为直线x-3y=0,且一个焦点坐标是(-2,0),则双曲线的标准方程是()A.y2-x23=1B.x23-y2=1C.x2-y23=1D.y23-x2=110.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m等于()A.-14B.-4C.4D.1411.(多选题)已知双曲线x2m-y2m2-m+4=1(m0),则下列说法正确的是()A.离心率的最小值为4B.当m=2时,离心率最小C.离心率最小时,双曲线的标准方程为x22-y26
4、=1D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为3xy=012.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M,N两点,若MF2N是钝角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(5,+)C.(1,2)D.(1,5)13.已知双曲线C:x24-y2=1,P为C上的任意点,设点A的坐标为(3,0),则|PA|的最小值是.14.焦距为2c的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),如果满足“2b=a+c”,则称此双曲线为“等差双曲线”.(1)若双曲线C是“等差双曲线”,求其渐近线的方程;(2)对于焦距为10
5、的“等差双曲线”,若过点M(0,2)的直线l与其仅有一个公共点,求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022安徽宿州高二期中)已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中点在y轴上,则双曲线C的离心率为()A.3+12B.3C.2D.3+1参考答案3.2.2双曲线的简单几何性质1.D由x29-y216=1,知a=3,c=5,所以左顶点与右焦点间的距离为a+c=8.故选D.2.D由题意,双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e=ca=2,则abc=132,即ba=3,所以双曲线x2a2-y2b2=
6、1的渐近线方程为y=bax=3x,即3xy=0.故选D.3.D由题意可得2b=27,所以b=7.又因为e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=43,所以可得a2=9,焦点可能在x轴,也可能在y轴上,故选D.4.D根据题意,双曲线C:x22-y2m=1(m0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,则有m2=2,即m=8,则双曲线的方程为x22-y28=1,其中a=2,b=22,则c=10,则双曲线的离心率为e=ca=5.故选D.5.B由已知得a=1,b=2,c=3,所以实轴长为2a=2,焦点坐标为(3,0),离心率为e=ca=3,故A,C,D不正确;双曲线的渐近线方程为y=2x,故B正确.故选B.6
7、.AD由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以渐近线的方程为y=bax,即bxay=0,由题意43=ba,即b=43a,再由c2=a2+b2=a2+43a2=259a2=25,可得a2=9,b2=16,所以双曲线的标准方程为x29-y216=1,故A正确;离心率e=ca=53,故B不正确;焦点F到渐近线的距离d=bca2+b2=b=4,故C不正确;|PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确.故选AD.7.22223因为点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,所以a=1,c=3,所以b=22,于是双曲线的渐近线方程为y=2
8、2x,顶点为(1,0),所以顶点到渐近线的距离为d=221+8=223.8.解e=233,ca=233,a2+b2a2=43,a2=3b2.又直线AB的方程为bx-ay-ab=0,直线AB与原点之间的距离d=aba2+b2=32,即4a2b2=3(a2+b2).解组成的方程组,得a2=3,b2=1.双曲线的标准方程为x23-y2=1.9.B由题意可得焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以可得双曲线的渐近线方程为y=bax,由题意可得ba=13,c=2=a2+b2,解得a2=3,b2=1,所以双曲线的标准方程为x23-y2=1.10.A双曲线方程化为标准
9、形式y2-x2-1m=1,则有a2=1,b2=-1m,由题设条件知,2=-1m,得m=-14.11.BCD由双曲线的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,所以双曲线的离心率e=ca=m2+4m=m+4m2m4m=2,当且仅当m=4m且m0,即m=2时,等号成立,故A不正确,B正确;离心率最小时m=2,这时双曲线的标准方程为x22-y26=1,渐近线方程为3xy=0,故C,D正确.故选BCD.12.B如图所示.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F2,过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M,N两点,|MF1|=|NF1|=b
10、ca,|F1F2|=2c.MF2N是钝角,MF2F145,|F1F2|MF1|,即2cbca,2acbc,整理得4a25,解得e5或e-5(舍去),故选B.13.255设点P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x24-1=54x-1252+45,根据双曲线的范围知|x|2,当x=125时,|PA|2取最小值为45,即|PA|的最小值为255.14.解(1)联立2b=a+c,c2=a2+b2,得3b=4a,所以渐近线方程为y=43x.(2)根据题意可知2c=10,所以c=5,由(1)得3b=4a,所以a=3,b=4,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.又因为过点M(0,2)的直线l与双曲线仅有一个公共点,所以直线l平行于该双曲线的渐近线,即直线l的斜率k=43,故所求直线l的方程为y=43x+2或y=-43x+2.15.B设F1(-c,0),F2(c,0),由双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,AF1的中点D在y轴上,可得|DF2|=|DF1|=|AD|=|AF2|,所以AF2F1F2,即AF2x轴,A的横坐标为c.令x=c,可得y=b2a.在直角三角形AF1F2中,F1AF2=60,可得tanF1AF2=2cb2a=2acc2-a2=3,即2ee2-1=3,即3e2-2e-3=0,解得e=3或e=-13(舍去).故选B.
