1、微专题11与平面向量相关的最值问题与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.例题：如图，在扇形OAB中，AOB60，C为弧AB上的一动点，若xy(x，yR) ，求x4y的取值范围变式1设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若ABC，mn(m，nR)，则mn的最小值为_变式2如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量(，R)，求的最小值串讲1已知
2、ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足，则|的最小值为_串讲2已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设x，y(xy0)，求4xy的最小值(2017新课标卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，求的最大值(2018洛阳三模)在ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所以直线分别交于点M，N，若m，n(m0，n0)，求m2n的最小值答案：3.解析：因为2，所以，()，4分又因为m，n，所以，7分由于M，P，N三点共线，所以1，9分所以m2n(m2n)3，12分微专题11例题
3、答案：1，4解法1建立如图所示的直角坐标系，设此扇形的半径为1，AOB60，所以A，B(1，0)，设，因为xy，所以(cos，sin)xy(1，0)，解得则tx4y4cos，以下用导数方法求解函数t的最值情况，因为t4sincos，当时，sin0，cos0，则t0，即函数t在时是单调递减的，所以当0时，tmax4104，当时，tmin41，综上所述，x4y的取值范围是1，4解法2建立解法1中的直角坐标系xOy，设此扇形的半径为1，由于AOB60，则A，B(1，0)，设C(m，n)，因为C为弧AB上的一个动点，则m2n21，由于xy，所以(m，n)xy(1，0)，从而解得所以x4yn4(2mn)
4、，记t2mn，则直线l：n2mt过弧AB上的点，当点l过点B(1，0)时t取得最大值tmax2，当l过点A时，t取得最小值tmin，所以x4yt1，4解法3取OB的四等分点(靠近点O)D，连接AD交OC于点E，设此扇形的半径为1，则|1，由于xy，则x4yx4y，因为A，E，D共线，设，则1，又因为O，E，C共线，设k，则kkkx4y，所以x4yk，当E，D重合时，|取得最小值，x4y取得最大值4；当E，A重合时，|取得最大值，x4y取得最小值1，所以x4y1，4(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)变式联想变式1答案：.解法1因为ABC，所以AOC，不妨设
5、A(1，0)，C(0，1)，B(cos，sin)，则cosm，sinnmncossinsin，当且仅当时取等号解法2如图，因为ABC，所以AOC，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧上的点)，由于mn，则(x，y)m(1，0)n(0，1)，即xm，yn，所以mnxy，当且仅当xy时取等号解法3如图，因为ABC，所以AOC，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧上的点)，则|1，记OB的反向延长线交AC于点D，则因为A，D，C共线，设，则1，又因为O，D，B共线，设k(k0)，则kkkmn，所以mnk()k，当D位于AC中点时，|取得最小值，mn取得最小值，此时xy
6、.(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)变式2答案：.解法1以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0)，设P(cos，sin)，所以(1，1)，又.故(cos，sin)(1，1)，所以故从而1，记f()1，由题意得，0，则f()0.所以f()1在上单调递增，所以当0时，的最小值为.解法2如图，设正方形边长为1，将向量沿DA平移至，则，连接FP并延长交AC的延长线于点Q，由于F，P，Q共线，设xyxy，则xy1，因为A，C，Q共线，设k，则kk(xy)，又因为，由平面向量基本
7、定理得kx，ky，所以kxkyk，当|最大时，取得最小值，此时P，B重合，|2，所以()minkmin.(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！)说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式，再依据函数的单调性或基本不等式求目标函数的最值解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，比较快捷串讲激活串讲1答案：.解法1以A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B，C，设P(
8、cos，sin)，(cos，sin)，则|(是以sin，cos的非特殊角)，所以|.解法2如图，取AC的三等分点D(靠近A)，则，又，即，及，因为点P是以A为圆心的单位圆上一动点，所以点Q是以点D为圆心，为半径的圆上的动点，又BD，所以|的最小值为.串讲2答案：.解法1由题意可知，M，E，N三点共线，故设(01)，而()，所以，即()，即()x(yx)，即0，所以即故4xy(1)2，当且仅当时，即时等号成立，故4xy的最小值是.解法2由于M，E，N共线，设，则1，因为x，y，所以xy，由于AD为三角形ABC的中线，所以，又因为E为AD中点，所以xy，所以且1，所以4(xy0)，所以4xy(4xy)，当且仅当x，y时取得等号所以4xy的最小值是.新题在线答案：3.解析：如图，建立平面直角坐标系，设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)根据等面积公式可得圆的半径r，即圆的方程是(x2)2y2，(x，y1)，(0，1)，(2，0)，若满足，即，1y，所以y1，设zy1，即y1z0，点P(x，y)在圆(x2)2y2上，所以圆心到直线的距离dr，即，解得1z3，所以z的最大值是3，即的最大值是3.
