1、第四讲基本不等式1.2021河南八市名校联考“x+4x4”是“x12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.2021贵阳市四校第二次联考若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为()A.2B.9C.4D.223.2021安徽省阜阳市二模若a,b为正实数,且12a+b+1a+2b=1,则a+b的最小值为()A.23B.43C.2D.44.2021山东新高考模拟已知1m43,则2m-1+34-3m的最小值是()A.32+9B.3+6C.62+9D.125.易错题已知关于x的不等式x2-4ax+3a20(a0,b0)B.a2+b22ab(a0,b0
2、)C.2aba+bab(a0,b0)D.a+b2a2+b22(a0,b0)图1-4-17.2021东莞市东华高级中学第二次联考双空题设x,y为正数,若x+y2=1,则1x+2y的最小值是,此时x=.8.2021安徽示范高中名校联考已知x,yR,且满足4x+y+2xy+1=0,则x2+y2+x+4y的最小值为.9.2021福建五校第二次联考多选题设正实数m,n满足m+n=2,则下列说法正确的是()A.nm+2n的最小值为2B.mn的最大值为1C.m+n的最小值为2D.m2+n2的最小值为210.2021湖南六校联考多选题设a0,b0,则下列不等式恒成立的是()A.(a+b)(1a+1b)4B.a
3、22a-1C.a2b+b2aa+bD.a2+b2a+bab11.2021江苏模拟已知正数x,y,z满足(x+2y)(y+z)=4yz,且z3x,则3x2+2y23xy的取值范围是.12.2021云南师大附中模拟已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16a12,则1m+9n的最小值为.13.2021杭州市学军中学模拟已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当abc取最大值时,3a+1b-12c的最大值为.14.2020湖南湘潭模拟某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出x(
4、xN*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a-0.8x%)(a0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.答 案第四讲基本不等式1.B当x+4x4时,得x0,充分性不成立;当x12时,由基本不等式可得x+4x2x4x=4,当且仅当x=2时取等号,必要性成立.故“x
5、+4x4”是“x12”的必要不充分条件.故选B.2.C因为log2x+log4y=1,所以x0,y0且log2(xy)=1,所以xy=2,所以x2+y2x2y=4,当且仅当x2=y=2,即x=2,y=2时等号成立,故选C.3.B由已知可得a+b=13(3a+3b)=13(2a+b)+(a+2b)=13(2a+b)+(a+2b)(12a+b+1a+2b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)13(2+22a+ba+2ba+2b2a+b)=43,当且仅当2a+ba+2b=a+2b2a+b,即a=b=23时取等号,所以a+b的最小值为43.故选B.4.C1m0,4-3m0,2m-1+34-
6、3m=(63m-3+34-3m)(3m-3)+(4-3m)=9+6(4-3m)3m-3+3(3m-3)4-3m9+62,当且仅当6(4-3m)3m-3=3(3m-3)4-3m,又1m43,故m=5-23时,取等号.故选C.5.D不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2), 在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+ax1x2=4a+13a. a0,b0),故选D.7.412因为x+y2=1,x0,y0,所以1x+2y=(1x+2y)(x+y2)=2+y2x+2xy2+2y2x2xy=4,当且仅当y2x=2xy,即x=1
7、2,y=1时等号成立,所以1x+2y的最小值为4,此时x=12.8.-134因为4x+y+2xy+1=0,所以2x(y+2)+y+1=0,即2x(y+2)+(y+2)-1=0,即(2x+1)(y+2)=1,即(x+12)(y+2)=12.所以x2+y2+x+4y=(x+12)2+(y+2)2-1742(x+12)(y+2)-174=-134,当且仅当x+12=y+2时取“=”,即x=-1-22,y=-4-22或x=-1+22,y=-4+22时取“=”,所以x2+y2+x+4y的最小值为-134.9.BD因为m0,n0,m+n=2,所以nm+2n=nm+m+nn=nm+mn+12nmmn+1=2
8、+1=3,当且仅当nm=mn且m+n=2,即m=n=1时取等号,A错误;nm(m+n2)2=1,当且仅当m=n=1时,mn取得最大值1,B正确;因为(m+n)2=m+n+2mn=2+2mn2+m+n=4,当且仅当m=n=1时取等号,故m+n2,即最大值为2,C错误;m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn4-2(m+n2)2=2,当且仅当m=n=1时取等号,m2+n2的最小值为2,D正确.故选BD.10.ACD因为a0,b0,所以(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab2+2baab=2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立,所以选项A正确;a2-(2a-1)=a2-2a+1=(a-1)20
9、,即a22a-1,所以选项B错误;因为a0,b0,a2b+b2a+a+b=(a2b+b)+(b2a+a)2a2bb+2b2aa=2(a+b),当且仅当a=b时,等号成立,所以a2b+b2aa+b,所以选项C正确;因为a0,b0,a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=(a+b)-2aba+b2ab-2ab2ab=ab,当且仅当a=b时,等号成立,所以选项D正确.综上可知,选ACD.11.263,53由(x+2y)(y+z)=4yz,得xy+2y2+xz=2yz,z=xy+2y22y-x3x.又x,y,z为正数,所以2y-x0,xy+2y26xy-3x2,所以3x2+2y25xy.因为3x
10、2+2y226xy,当且仅当3x=2y时等号成立,所以3x2+2y23xy5xy3xy=53,3x2+2y23xy26xy3xy=263,所以3x2+2y23xy的取值范围为263,53.12.114设正项等比数列an的公比为q,且q0,由 a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,即q2-q-2=0,解得q=2.由aman=16a12,得qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,得m+n=6.1m+9n=m+n6(1m+9n)=16(1+nm+9mn+9)10+2nm9mn6=83,当且仅当nm=9mn,m+n=6,即m=32,n=92时取等号,因为m,n为正整数,所以等号不成立,所以1m+9n83.验证可得当m=2,n=4时,1m+9n取得最小值,最小值为114.13.1因为a2-2ab+9b2-c=0,a2+9b26ab,当且仅当a=3b时等号成立,所以6ab-2ab-c0,即4abc,所以abc14,所以当abc取最大值时,c=12b2.所以3a+1b-12c=2b-1b2=-(1b-1)2+11,所以3a+1b-12c的最大值为1.14.(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.4x%)101 000,即x2-750x0,又x0,所以00,所以0a7,故a的取值范围是a|0a7.第4页共4页
