1、4.1导数的概念及运算专题检测1.(2020湖南衡阳八中月考,5)已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3lnx的一条切线,则m的值为()A.0B.2C.1D.3答案B设切点为(x0,y0),结合题意可知y|x=x0=2x0-3x0=-1,解得x0=1或x0=-32(舍去),将其代入曲线y=x2-3lnx得y0=1,所以切点为(1,1),将其代入切线方程可得1=-1+m,解得m=2.故选B.2.(2019河北唐山二模,8)已知函数f(x)=x2+2x,x0,-x2+ax,x0为奇函数,则曲线f(x)在x=2处的切线斜率等于()A.6B.-2C.-6D.-8答案B设x0,则-x0,则f(x)=-2
2、x+2,则f(2)=-2.故选B.一题多解当x0时,f(x)=2x+2,则f(-2)=-2,由于f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以f(2)=f(-2)=-2,故曲线f(x)在x=2处的切线斜率为-2,故选B.3.(2019福建福州一模,7)已知函数f(x)=xsinx,f(x)为f(x)的导函数,则函数f(x)的部分图象大致为()答案A由题意知f(x)=sinx+xcosx,为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D,设g(x)=f(x),则g(x)=2cosx-xsinx,则g(0)=20,排除B,故选A.4.(2020江西九江十校4月模拟,10)若曲线y=x4-x3+ax(x0)存
3、在斜率小于1的切线,则a的取值范围为()A.-,32B.-,12C.-,54D.-,14答案C由题意得y=4x3-3x2+a0时有解.设f(x)=4x3-3x2+a(x0),f(x)=12x2-6x=6x(2x-1),令f(x)0得0x0得x12,f(x)min=f12=a-141,则a0)与g(x)=2x2-m(m0)的图象在第一象限有公共点,且在该点处的切线相同,当实数m变化时,实数a的取值范围为()A.4e2,+B.8e2,+C.0,4e2D.0,8e2答案D设切点为A(x0,y0),所以aex0=2x02-m,aex0=4x0,整理得4x0=2x02-m,x00,m0,由m=2x02-
4、4x00和x00,解得x02.由上可知a=4x0ex0,令h(x)=4xex,x2,则h(x)=4(1-x)ex.因为x2,所以h(x)=4(1-x)ex0,h(x)=4xex在(2,+)上单调递减,所以0h(x)0,曲线f(x)=3x2-4ax与g(x)=2a2lnx-b有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数b的最小值为()A.0B.-1e2C.-2e2D.-4e2答案B设曲线y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点P(x0,y0)处的切线相同,因为f(x)=6x-4a,g(x)=2a2x,由题意得f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),所以3x02-4ax0=2a2lnx0-b
5、,6x0-4a=2a2x0,由6x0-4a=2a2x0得x0=a或x0=-13a(舍去),即有b=a2+2a2lna.令h(t)=t2+2t2lnt(t0),则h(t)=4t(1+lnt),当4t(1+lnt)0,即t1e时,h(t)0,当4t(1+lnt)0,即0t1e时,h(t)0)上存在极值,求实数m的取值范围.解析(1)f(x)=-lnxx2,故切线的斜率为f(e)=-1e2,又f(e)=2e,切线方程为y-2e=-1e2(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)当0x0,当x1时,f(x)0)上存在极值,0m1,解得23m0时,证明:f(x)x0),故h(x)=1x-1.由h(x)=
6、0得x=1,h(x),h(x)随x的变化情况如下:x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)极大值h(x)max=h(1)=ln1-1=-10,f(x)x.设s(x)=x-g(x)=x-ex,则s(x)=1-ex.易知s(x)0在(0,+)上恒成立,s(x)在(0,+)上单调递减,s(x)s(0)=-10xg(x).综上,f(x)x0,m(x)在(-,0上单调递增,当x0时,m(x)=-(x+1)ex.易知m(x)0,m(1)=1-e0,m(x)单调递增,x(x0,+)时,m(x)0,又m(-2)=3e-2-10,m(2)=-e2+30,m(x)在(-2,x0),(x0,2)内各存在一个零点,故曲线f(x)与g(x)存在2条公切线.
