1、江西省南昌市第二中学2021届高三数学上学期第四次考试试题 文一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Axlg（x2）1，集合Bx2x30，则AB等于（ ）A（2，12） B（一l，12） C（一l，3） D（2，3） 2已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，则复数的虚部为 （ ）A.3 B.3 C. D. 3若命题：，则为 （ ）A B C D4. 已知等比数列中，数列是等差数列，且，则 （ ）A. 18B. 9 C. 16 D. 815已知变量，满足约束条件则的最大值为 （ ）A2 B3 C4 D66已知是两
2、条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题：若,则； 若,且,则；若,则； 若,且,则其中正确命题的序号是 （ ）A B C D7. 若，求： （ ） A B C D8设向量a(a,1)，b(1，b)(ab0)，若ab，则直线b2xy0与直线xa2y0的位置关系是()A平行 B相交且垂直 C相交但不垂直 D重合9周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章， 四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者己是奔百之龄（年龄
3、介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ）A94 B95 C96 D9810 某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 （ ）A2 B C1 D11 已知,若不等式恒成立,则的最大值为 （ ） A10 B9 C8 D712.定义在R上的连续函数，导函数为。若对任意不等于1的实数，均有成立,且,则下列命题中一定成立的是 ( )A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13已知A(1，2)，B(2，5)，(2，4)，则cos 。14若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 。15.
4、 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为若，则_16.已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ .三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17. (10分)已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数，且的最大值为，若，求证：18(12分)在中,分别为内角,的对边，且（1）求角的大小；（2）若，求的最大值19. (12分)已知是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：. 20. （12分）如图， 是边长为2的正三角
5、形， 平面, 分别为的中点， 为线段 上的一个动点()当为线段中点时，证明：平面；()判断三棱锥的体积是否为定值？ 21.(12分) 【平行班做】已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13（）求圆C的标准方程；（）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由【实验班做】已知椭圆C：过点，且离心率为（）求椭圆C的方程；（）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得MP
6、Q为等边三角形，求直线的方程22(12分)已知函数 . （）求函数的单调区间；（）若存在，使成立，求整数的最小值. 高三第四次考试数学（文）参考答案一选择题：BBCAD CABBD BB二填空题： 13. ； 14. ； 15. 16.三解答题17解：（1）由得，解得不等式的解集为 （2）当且仅当时等号成立， 当且仅当，即时等号成立 18【解析】（1）因为，利用正弦定理可得，即，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以.（2）由（1）及余弦定理可得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.19.【解析】（1），即， 令得：，即，是首项为，公比为的等比数列，.（2），20、解：(I)在中，
7、分别为的中点，. 平面平面, 在正中， 为线段中点， ,又, 平面. (II)三棱锥的体积是定值.理由如下： 平面,平面，所以直线AD上的点到平面BEF的距离都相等 8分 又平面ABD且, 11分三棱锥的体积为.21【平行班】【解析】（）设圆C：，由题意知解得或又，圆C的标准方程为：（）当斜率不存在时，直线为：不满足题意。当斜率存在时，设直线l：，A，B，又l与圆C相交于不同的两点，联立消去得：解得或又，假设，则，解得，假设不成立，不存在这样的直线。【实验班】【详解】（）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为（）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；当的斜率k
8、0时，设直线与椭圆联立得=8,设P（）,则Q（）,又PQ的垂直平分线方程为由，解得, 为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=综上可知，直线的方程为y=0或y=22【解析】（1）由题意可知，方程对应的，当，即时，当时，在上单调递减； 当时，方程的两根为，且 ， 此时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时, 此时当，单调递增，当时，单调递减； 综上：当时,单调递增,当时,单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减； （2）原式等价于，即存在，使成立设，则， 设，则，在上单调递增又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即， 由题意可知，又，的最小值为.
