1、3.1.3组合与组合数第一课时组合及组合数公式课后篇巩固提升必备知识基础练1.计算:=()A.120B.240C.60D.480答案A解析=120.2.(多选)若,则x的值可能为()A.2B.3C.4D.5答案AB解析由组合数公式的性质可得,x+1=2x-1或x+1+2x-1=9,解得x=2或x=3.经检验,均符合题意.故选AB.3.给出三个事件:10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种不同的分法?从1,2,3,9九个数字中任取3个,由小到大排列构成一个三位数,这样的三位数共有多少个?10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?其中是组合问题的有()A.0个B
2、.1个C.2个D.3个答案D解析10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,与顺序无关,所以为组合问题.从1,2,3,9九个数字中任取3个,由小到大排列构成一个三位数,只需选出3个数字,选出后顺序固定,不需要排序,所以为组合问题.10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,因为两人之间只握手一次即可,所以该问题与顺序无关,是组合问题.所以均与顺序无关,所以都是组合问题.故选D.4.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是()A.20B.9C.D.答案B解析分两类:第一类,在直线a上任取一点,与直线b可确定个平面;第二类,在直线b上任取一点,与直线a可确定个平面.
3、故可确定=9个不同的平面.5.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有()A.36个B.72个C.63个D.126个答案D解析此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线的交点个数即所求,所以交点有=126个.6.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1 260解析分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有=540个;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有=720个.所以没有重复数字的四位数共有540+720=
4、1 260个.7.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的菜品.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜种.(结果用数值表示)答案7解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜,由题意,得200,从而有20,即x(x-1)40.所以x的最小值为7.8.求证:m!+=m!.证明左边=m!(1+)=m!(+)=m!(+)=m!(+)=m!=右边.关键能力提升练9.计算2+3的值是()A.72B.102C.5 070D.5 100答案B解析依题意,原式=2+3=2+354=42+60=102,故选B.10.(多选)(2
5、021江苏苏州星海实验中学高二期中)下列等式正确的是()A.B.C.(n+2)(n+1)D.答案ACD解析根据组合数的性质可知,故AD正确;根据排列数与组合数的关系可知,故B不正确;因为(n+2)(n+1)=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-m+1),=(n+2)(n+1)(n+2-m-2+1)=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-m+1),所以(n+2)(n+1),故C正确.故选ACD.11.2020年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是
6、孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B解析由题意,第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为=3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为=4种,故有34=12种;第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为=3种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为=4种,这时共有34=12种,根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式.故选B.12.(2021湖南高三月考)我国数学家陈景润在哥德巴
7、赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如20=7+13,在不超过20的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数的和是奇数的概率是()A.B.C.D.答案B解析因为不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,随机选取2个不同的数,其和为奇数,则必有2,所以所求概率P=.故选B.13.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则至少选中一名男生的选法种数是.答案7解析从5名学生中选2名学生去参加活动,有=10种,从3名女生中选2名女生去参加活动,有=3种,所以至少选中一名男生的选法种数是10-3=7
8、.14.(2020上海第二工业大学附属龚路中学高三月考)用0,1,2,3,4这五个数可以组成个无重复数字的三位奇数;个三位奇数.(用数字作答)答案1840解析先确定末尾一共有1,3两种情况,再确定百位与十位,所以一共有2=18个.先确定末尾一共有1,3两种情况,再确定百位与十位,所以一共有2=40个.15.一位教练带领的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这17名学员可以形成多少种上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么这位教练有多少种方式安排上场队员?解(1)由于上场队员没有角色差
9、异,所以可以形成的上场方案种数为=12 376.(2)教练可以分两步完成这件事情:第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有种选法;第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有种选法.所以教练做这件事情的方式有=136 136种.学科素养拔高练16.(2021北京昌平高三期末)高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中,依照个人兴趣、未来职业规划等要素,任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下:选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数24281415ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论:若a=19,则b=11;
10、选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人;在选考化学的所有学生中,最多出现10种不同的选考科目组合;选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是.答案解析所有学生选的科目总数为373=111,则a+b=111-24-28-14-15=30,若a=19,则b=11,故对;选考化学的学生有28人,37-28=9人,则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人,故对;在选考化学的所有学生中,学生还须选另外两科,则从五种里面选两种,共有=10种,最多出现10种不同的选考科目组合,故对;因为地理,政治人数不确定,选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多,故错.17.推广组合数公式,定义,其中xR,mN+,且规定=1.(1)求的值;(2)设x0,当x为何值时,函数f(x)=取得最小值?解(1)由题中组合数的定义得=-680.(2)由题中组合数的定义得f(x)=x+-3.因为x0,由均值不等式得x+2,当且仅当x=时,等号成立.所以当x=时,取得最小值.
