1、选修45不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0.(2)|
2、x3|2x1|2|x1|，两边平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集为.法二：原不等式等价于或或解得x，所以原不等式的解集为.(2)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.绝对值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组
3、)求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化为或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73，所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15即为x28x180，解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15即为x210x220，解集为x|5x0.(1)当a1时，求不等式
4、f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式可化为或即或结合a0，解得x，即不等式f(x)0的解集为.不等式f(x)0的解集为x|x1，1，故a2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立
5、考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明绝对值不等式的恒成立问题例2设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 017时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等
6、式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得，当a2 017时，f(x)因为f(x)在2 017，)上单调递增，所以函数f(x)的值域为2 017，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.当且仅当a1时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上，a的取值范围是.2考点
7、二(2017保定模拟)设函数f(x)|x1|xa|(aR)(1)当a4时， 求不等式f(x)5的解集；(2)若f(x)4对xR恒成立，求a的取值范围解：(1)当a4时， 不等式即为|x1|x4|5，等价于或或解得x0或x5，故不等式f(x)5的解集为x|x0或x5(2)因为f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|，所以f(x)min|a1|，故|a1|4，解得a3或a5.故a的取值范围为(，35，)3考点一已知函数f(x)ax2xa的定义域为1,1(1)若f(0)f(1)，解不等式|f(x)1|ax；(2)若|a|1，求证：|f(x)|.解：(1)f(0)f(1)，即aa1a，则a1，所
8、以f(x)x2x1，所以不等式化为|x2x|x，当1x0时，不等式化为x2xx，解得x0；当0x1时，不等式化为x2xx，解得0x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由已知x1,1, 所以|x|1，又|a|1，则|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.4考点一(2017开封模拟)设函数f(x)|xa|，a0.(1)证明：f(x)f2；(2)若不等式f(x)f(2x)的解集非空，求a的取值范围解：(1)证明：函数f(x)|xa|，a0，则f(x)f|xa|xa|x|22(当且仅当|x|1时取等号)(2)f(x)f(2x)|xa|2xa|，a0.当xa时，f
9、(x)f(2x)axa2x2a3x，则f(x)f(2x)a；当ax 时， f(x)f(2x)xaa2xx，则f(x)f(2x)a；当x时，f(x)f(2x)xa2xa3x2a，则f(x)f(2x)，则f(x)f(2x)的值域为，不等式f(x)f(2x)，解得，a1，由于a1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.2(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)
10、|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范围是2，)3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f
11、(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y6的解集；(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成立，求m的取值范围解：(1
12、)当m3时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集解得x5；或解得4x6的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m5，故m的取值范围为15,52(2017郑州模拟)设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1，得x0，即0x1，即x1.综上，不等式f(x)1的解集为(0，)(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f
13、(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故实数m的取值范围为3,43(2017长春模拟)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)当x0时，函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围解：(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，解集是.当1x2时，原不等式可化为2xx11，即1x0；当x1，即x1.综上，原不等式的解集是x|x0时，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故实数a的取值范围是1，)4设函数f(x)|kx1
14、|(kR)(1)若不等式f(x)2的解集为，求k的值；(2)若f(1)f(2)5，求k的取值范围解：(1)由|kx1|2，得2kx12，即1kx3，所以x1，由已知，得1，所以k3.(2)由已知，得|k1|2k1|5.当k时，(k1)(2k1)1，此时1k；当k1时，(k1)(2k1)5，得k5，此时1时，(k1)(2k1)5，得k，此时1k.综上，k的取值范围是.5已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5; (2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解：(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x
15、1|3，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x0；(2)若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围解：(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当x4时，不等式化为12xx40，解得x5，即不等式组的解集是.当4x0，解得x0，解得x5，即不等式组的解集是.综上，原不等式的解集为.(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故a的取值范围是.7已知函数f(x)|2xa|a(其中a为常数)(1)若集合x|4x3是关于x的不等式f(x)6的解集的子集，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若存在
16、实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围解：(1)由|2xa|a6得|2xa|6a，a62xa6a，即a3x3，a34，a1.即实数a的取值范围为(，1(2)由题可知，只需mf(n)f(n)min即可令(n)f(n)f(n)，在(1)的条件下a1，则(n)|2na|2na|2a|(2na)(2na)|2a|2a|2a0，当且仅当(2na)(2na)0，即ana时取等号(n)的最小值为0，故实数m的取值范围是0，)8已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时
17、，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，原不等式的解集为.(2)(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即00且互不相等，abc1.试证明：.证明因为a，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的变形形式有：a2(a0)；2(ab0)；2(ab0，
18、且abbcca1.求证：(1)abc ；(2) ()证明(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) .在(1)中已证abc .因此要证原不等式成立，只需证明 ，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca(当且仅当abc时等号成立)所以原不等式成立方法技巧分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要
19、不等式(a2b22ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点三已知abc，且abc0，求证：a.证明：要证a，只需证b2ac3a2.abc0，cab，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立2考点一已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab
20、0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3考点二已知a，b，c，d均为正数，且adbc.(1)证明：若adbc，则|ad|bc|；(2)t，求实数t的取值范围解：(1)证明：由adbc，且a，b，c，d均为正数，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因为(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于ac，bd，又已知t，则t(acbd)(acbd)，故t，当且仅当ac，bd时取等号全国卷5年真题集中演练明规律 1(2
21、016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若，则()2()2，即ab2
22、cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件3(2014新课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.4(2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcac；(2) 1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得
23、a2b2c2abbcca，当且仅当abc时取等号由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，当且仅当abc时取等号所以1.课时达标检测 基础送分题高考就考那几点，练通就能把分捡 1已知函数f(x)|x3|x1|，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足abt，求证：.解：(1)因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)证明：由(1)得ab4，故1，121，当且仅当b2a，即a，b时取等号，故.2设不等式2|x1|x2
24、|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10解得x，则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.3(2017广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若，1，f()f()4，求证：3.解：(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2ma2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：(1)(a3b3)(a
25、2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc(当且仅当abc时取等号)5已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：.证明：1|xy|，原不等式成立6(2017长沙模拟)设，均为实数
26、(1)证明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，证明：|cos |cos |cos |1.证明：(1)|cos()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2017重庆模拟)设a，b，cR且abc1.求证：(1)2abbcca；(2)2.证明：(1)
27、因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当ab时等号成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为，当且仅当abc时等号成立所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时等号成立8(2017贵阳模拟)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时，取等号)所以abc，即3.
