1、20.蝴蝶定理与应用一试题呈现（2022全国甲卷）. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程二命题背景分析“二次曲线中的蝴蝶定理”.结论11：设抛物线的弦过定点，过点作非水平线交于两点，若直线与轴交于定点，直线的斜率存在且非零，则.上述结论1就是2022年全国甲卷解析几何试题的命题背景，即所谓的“蝴蝶定理”！这个定理同样适用于椭圆与双曲线，下面我们通过例题予以展示.三. 更多实例例1已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与
2、椭圆交于，两点，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程（2）设，延长，分别与椭圆交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值解析：（1）由题意，得解得，故椭圆的方程为（2）设，由已知，直线的方程为，即由消去并整理，得则，同理，为定值注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.习题1.（2018年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证: 为定值, 并求此定值(用的函数表示).证明：设，代入椭圆方程得，设 , 则，. 两式相除得, .由题意知, . 从而 . . 因为，所以 .四逆向思考：斜率之商为定值，是否恒过定点？前面我们围绕
3、抛物线与椭圆中的“蝴蝶定理”，着力在证明斜率之商为定值！那么倘若，已知斜率之积为定值，又会出现什么样的情形呢？此时我们主要注意，在二次曲线中，斜率乘积为定值的模型是很重要的一类，而斜率之商在一定条件下可以转化为斜率之积，于是我们可以看到，在一些问题中，斜率之商为定值是可以得到一类定点问题！下面，我通过例题予以分析.例2在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)解析：（1）曲线的方程为：。（2）点的坐标为直线方程为：，即，直线方程为
4、：，即, 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：.当时，直线方程为：令，解得：. 此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为.综上所述，直线必过轴上的一定点.注：依题，我们可以得到 五坎迪定理上述结果可推广到圆锥曲线中，具体形式见参考文献2.参考文献：1. 陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究.J.中学数学研究.2020.02.2. 吴宏考.蝴蝶定理的妙用及变式推广.J.高中数学教与学.六练习题练习1如图，已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点（1）求的值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值解析：（1）根据条件，设直线的方程为将其代入，消去，整理得，所以（2）设，则设直线的方程为将其代入，消去，整理得所以同理可得，故由（1）得为定值练习2. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程解析：（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为.（2）设，直线，由可得，代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.
