1、综合拔高练五年高考练考点直线方程及其应用1.(2020全国,8,5分,)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.22.(2018北京,7,5分,)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos,sin)到直线x-my-2=0的距离.当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.43.(2016北京,7,5分,)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.84.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.
2、5.(2016上海,3,4分,)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离.三年模拟练应用实践1.(2020江苏震川高级中学高二月考,)直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程是()A.3x+2y+6=0B.2x-3y+6=0C.3x+2y-6=0D.3x-2y-6=02.(2020北京人大附中高二期中,)下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是()A.-23B.23,-29C.-23,23,-29D.-23,23,0,-293.(2020上海金山中学高二期中,)设直线l的方程是ax+
3、3y-2=0,其倾斜角为,若6,22,34,则a的取值范围为.4.(2020江苏江安高级中学高二期中,)已知三条直线的方程分别为y=0,3x-y+3=0,3x+y-3=0,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为.5.(2020江苏南通通州高级中学高二期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知射线OA:x-y=0(x0),OB:2x+y=0(x0).过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B.(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时,求直线AB的方程;(2)当AOB的面积取最小值时,求直线AB的方程;(3)当PAPB取最小值时,求直线AB的方程.迁移创新6.(2020江苏常州横林高级中学高二
4、期中,)如图,RtOAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的方程;(2)动点P在x轴上从点(-10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t(单位:秒).点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得PDA=B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.1.11.5综合拔高练五年高考练1.B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x
5、+1)的距离d=|k0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,注意到k2+12k,于是2(k2+1)k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号.即|k+1|k2+12,所以d=|k+1|k2+12,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=2,故选B.2.C解法一:由点到直线的距离公式得d=|cos-msin-2|1+m2,cos-msin=1+m211+m2cos-m1+m2sin,令
6、sin=11+m2,cos=m1+m2,则cos-msin=1+m2sin(-),d|-1+m2-2|1+m2=1+m2+21+m2=1+21+m2,当m=0时,dmax=3,故选C.解法二:cos2+sin2=1,P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.3.C如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为24-1=7
7、.4.答案4解析解法一:设Px0,x0+4x0,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2x0+2x04,当且仅当x0=2x0,即x0=2时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(C0)(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x(x0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小,由x+y+C=0,y=x+4x得2x2+Cx+4=0,所以=C2-32=0,解得C=42.因为x0,所以y0,所以C0,所以C=-42,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是|C|2=4.5.答案255解析利用两平行线间距离公式得
8、l1,l2的距离d=|-1-1|22+12=255.三年模拟练1.A直线2x+3y+6=0与坐标轴的交点分别为A(0,-2),B(-3,0),设点A(0,-2)关于直线x-y=0的对称点为A1(x1,y1),则y1-(-2)x1-0=-1,x12-2+y12=0,解得x1=-2,y1=0,即A1(-2,0),同理求得点B(-3,0)关于直线x-y=0的对称点为B1(0,-3),所以kA1B1=-32,所以直线A1B1的方程为y=-32(x+2),即3x+2y+6=0,所以直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程为3x+2y+6=0.故选A.2.C由3x+y=4,x-y=0解得x=1,
9、y=1,即直线l1与l2的交点为M(1,1),因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,所以l3过点M,或l3与l1或l2平行,若l3过点M,则2-3m=4,解得m=-23;若l3l1,则23m=-3,解得m=-29;若l3l2,则23m=1,解得m=23.综上,m的可能取值为-23,23,-29.故选C.3.答案a3解析由ax+3y-2=0得y=-a3x+23,所以tan=-a3,因为6,22,34,所以tan33或tan33或-a3-1,所以a3.4.答案(0,-3),0,33,(2,3),(-2,3)解析如图所示,三条直线两两相交,交点为A(0,
10、3),B(1,0),C(-1,0),CAB的平分线AO:x=0(y3)和ACB的平分线CD:y=33(x+1)(x-1)的交点到三条直线的距离相等,联立x=0,y=33(x+1),得交点为0,33;ACB的外角平分线CE:y=-3(x+1)(x-1)和ABC的外角平分线BF:y=3(x-1)(x1)的交点到三条直线的距离相等,联立y=-3(x+1),y=3(x-1),得交点为(0,-3);ACB的外角平分线CG:y=-3(x+1)(x-1)和CAB的外角平分线AG:y=3(x0)的交点到三条直线的距离相等,联立y=-3(x+1),y=3,得交点为(-2,3);ABC的外角平分线BH:y=3(x
11、-1)(x1)和CAB的外角平分线AH:y=3(x0)的交点到三条直线的距离相等,联立y=3(x-1),y=3,得交点为(2,3).故答案为(0,-3),0,33,(2,3),(-2,3).5.解析(1)设A(x1,x1),B(x2,-2x2),则AB的中点坐标为x1+x22,x1-2x22,因为AB的中点在直线x-2y=0上,所以x1+x22-2x1-2x22=0,即x1=5x2,所以直线AB的斜率k=x1+2x2x1-x2=7x24x2=74,所以直线AB的方程为y=74(x-1),即7x-4y-7=0.(2)设直线AB的方程为x=my+1,易知m1,且m-12.联立x=my+1,x-y=
12、0,解得x=y=11-m,所以A11-m,11-m(m-12,所以SAOB=SAOP+SBOP=12OP11-m+22m+1=12-2m+12m+1,因为2-2m0,2m+10,所以12-2m+12m+1=12-2m+12m+12-2m+2m+13=131+1+2m+12-2m+2-2m2m+1132+22m+12-2m2-2m2m+1=43,当且仅当m=14时,等号成立,所以SAOB的最小值为43,此时m=14,直线AB的方程为x=14y+1,即4x-y-4=0.(3)由(2)知,m-12,1,PA=11-m-12+11-m2=m2+11-m,PB=12m+1-12+-22m+12=2m2+
13、12m+1,所以PAPB=m2+11-m2m2+12m+1=2m2+2-2m2+m+1=2(m2+1)-2(m2+1)+m+3=2-2+m+3m2+1,令m+3=t52,4,则m+3m2+1=t(t-3)2+1=tt2-6t+10=1t+10t-612t10t-6=1210-6,当且仅当t=10,即m=10-3时,m+3m2+1取得最大值,PAPB取得最小值,此时直线AB的方程为x=(10-3)y+1,即x-(10-3)y-1=0.思路点拨(1)设A(x1,x1),B(x2,-2x2),根据AB的中点在直线x-2y=0上求出x1=5x2,利用斜率公式求出直线AB的斜率,再由点斜式可求出直线AB
14、的方程;(2)设直线AB的方程为x=my+1,求出A,B的坐标,利用SAOB=SAOP+SBOP求出面积关于m的解析式,再根据基本不等式求最值可得m和直线AB的方程;(3)利用(2)中A,B的坐标求出PA、PB,得到PAPB关于m的函数关系式,再换元,利用基本不等式求出PAPB取最小值时的m,从而可得直线AB的方程.6.解析(1)由题知直线CD过点C(12,0),D(6,3),直线方程为y-0x-12=3-06-12,即x+2y-12=0.(2)如图1,作DPOB,则PDA=B,由DPOB,得PAAO=ADAB,即PA6=38,PA=94,OP=6-94=154,点P154,0.根据对称性知,
15、当AP=AP时,PDA=B,P334,0,满足条件的点P的坐标为154,0或334,0.如图2,当OP=OB=10时,作PQOB交直线CD于Q,易知直线OB的解析式为y=43x,直线PQ的解析式为y=43x+403,由y=43x+403,x+2y-12=0解得x=-4,y=8,Q(-4,8),PQ=(-10+4)2+(0-8)2=10,PQ=OB,四边形OPQB是平行四边形,又OP=OB,平行四边形OPQB是菱形.此时点M与点P重合,且t=0.如图3,当OQ=OB时,设Qm,-12m+6,则有m2+-12m+62=102,解得m=124895,点Q的横坐标为12+4895或12-4895.设M的横坐标为a,则a+02=12+4895+62或a+02=12-4895+62,解得a=42+4895或a=42-4895.又点P是从点(-10,0)开始运动,则满足条件的t的值为92+4895或92-4895.如图4,当Q点与C点重合时,M点的横坐标为6,此时t=16.综上,满足条件的t值为0,16,92+4895,92-4895.
