1、成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试高二年级 数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共60分。）1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解答：U=xN|x0，解得：x1或x1，令f(x)0，解得：1x1，故f(x)在(,1)递增,在(1,1)递减,在(1,+)递增，故1是极小值点，故a=1，故选：D.6. 函数单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】f(x)=，令f(x)0，解得：1x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0,恒有lnxpx1p恒成立，设f(x)=只须求其最大值，因为f(x)=,令f(x)=0x=
2、1，当0x0，当x1时,f(x)0，故f(x)在x=1处取最大值且f(1)=1.故p的取值范围是1,+).故选D.10. 甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。以4:30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为:(x,y)|0x30,0y30，画成图为一正方形。会面的充要条件是|xy|20,即事
3、件A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分,由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P(A)=；故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率11. 已知是定义在上的偶函数，且当 成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解答
4、：解答：当x0时,f(x)+xf(x)0,即(xf(x)ln2，abc故选A.12. 已知函数的图象如图所示，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象可知：经过原点,f(0)=0=d，.由图象可得：函数f(x)在1,1上单调递减,函数f(x)在x=1处取得极大值。f(x)=3ax2+2bx+c0在1,1上恒成立,且f(1)=0.得到3a2b+c=0，即c=2b3a，f(1)=3a+2b+c0，4b0，即b0，3a+2b0，设k=,则k=，建立如图所示的坐标系,则点A(1,2)，则k=式中变量a、b满足下列条件，作出可行域如图：k的最大值就是kAB=,k的最小值就是k
5、CD,而kCD就是直线3a+2b=0的斜率,kCD=，k.故选D.点睛：本题考查的是导函数与线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题（每小题5分，共20分。）13. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为_【答案】【解析】试题分析
6、：根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）0.2=0.4，该班学生中能报A专业的人数为500.4=20.考点：频率分布直方图.14. 已知，则_【答案】1【解析】，f(x)=3x22f(1)，f(1)=32f(1)，f(1)=1，故答案为：1.15. 已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_【答案】【解析】由题意，不妨设P在第一象限，由双曲线的方程知|PF1|PF2|=4,c=2|PF2|=2,|PF1|=6，2a=|PF2|+|PF2|=8，a=4.椭圆与双曲线有相同的右焦点,c=2，椭圆C1的离心率为
7、e=，故答案为：.16. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数_【答案】【解析】(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=,函数f(x)有两个零点，舍去。(ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x),令f(x)=0,解得x=0或2a.当a0时,0,当x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减;当x0,此时函数f(x)单调递增。是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00时,0,当x或x0,此时函数f(x)单调递增;当0x时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减。是函数f(x)的极小值点,0是
8、函数f(x)的极大值点。函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,即+10，a0，解得a2.综上可得：实数a的取值范围是(2,+).故答案为：(2,+).点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题（本大题共6小题，共70分。）17. 已知圆和圆的极坐标方程分别为。（）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求经过两圆交点的直线的
9、极坐标方程。【答案】(1) x2y24; x2y22x2y20;(2) sin.【解析】略18. 如图，在三棱柱中侧棱垂直于底面，点是的中点。（）求证：； （）求证：平面。【答案】(1) 详见解析;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（）推导出CC1AC，ACBC，从而AC平面BCC1B1，由此能证明ACBC1（）设BC1与B1C的交点为E，连结DE，则DEAC1，由此能证明AC1平面B1CD试题解析：（）在直三棱柱中，平面，所以，又，所以，平面，所以，（）设与的交点为，连结，为平行四边形，所以为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线， 又因为平面，平面，所以平面点睛：垂直、平行关系证明中应用
10、转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19. 某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组50，60)50.05第2组60，70)0.35第3组70，80)30第4组80，90)200.20第5组90，100100.10合计1001.00（）求的值；（）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉
11、字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。【答案】(1) 35，0.30;(2).【解析】试题分析：（）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解试题解析：（）a100530201035，b10.050.350.200.100.30（ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：303人，第4组：202人，第5组：1
12、01人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件
13、的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20. 已知函数。（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。【答案】(1) 函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，);(2) a.【解析】试题分析：（）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出其单调区间，（）由g(x)x22aln x得g(x)2x，建立新函数，求出其最小值，解出即可试题解析：（）函数f(x)的定义域为(0，).当a0
14、时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当a0时，f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，). （ ）由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即ax2在1,2上恒成立. 令，则h(x)2x(2x) ，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)minh(2)， 所以a. 21. 已知椭圆经过点，离心率。（）求椭圆的标准方程；（）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积
15、的最大值。【答案】(1) ;(2)1.【解析】试题分析：（）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值试题解析：（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为 22. 已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数。（）求的极值；（）若，证明：当，且时，。【答案】(1) 当时，无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（）的定义域为，当时，在时成立 在上单调递增，无极值。当时，解得 由 得；由 得所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值.（）当时，的定义域为，由，解得.当变化时，变化情况如下表：00+单调递减极小值单调递增，且，则（不妨设）设函数.当时，.当时，. 函数在上单调递增，即当时，.，.又，.在上单调递增，且， .
