1、习题课利用导数研究函数的单调性课后篇巩固提升1.已知实数x,y满足2x+2xyB.x=yC.x0,所以函数f(t)在R上单调递增,由题得f(x)f(y),所以x0的x的取值范围为()A.-1,12B.(-,-1)12,+C.-12,1D.-,-12(1,+)解析函数f(x)=ex-e-x+2sinx,定义域为R,且满足f(-x)=e-x-ex-2sinx=-(ex-e-x+2sinx)=-f(x),f(x)为R上的奇函数;又f(x)=ex+e-x+2cosx2+2cosx0恒成立,f(x)为R上的增函数;又f(2x2-1)+f(x)0,得f(2x2-1)-f(x)=f(-x),2x2-1-x,
2、即2x2+x-10,解得x12,所以x的取值范围是(-,-1)12,+.故选B.答案B3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)f(x),则f(2 020)与ef(2 019)的大小关系为()A.f(2 020)ef(2 019)D.不能确定解析构造函数g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex,因为f(x)f(x),所以g(x)0,即函数g(x)在R上为增函数,则f(2020)e2020f(2019)e2019,f(2020)ef(2019).答案C4.已知函数f(x)=12x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x
3、1-x24恒成立,则实数a的取值范围为()A.4,+)B.(4,+)C.(-,4D.(-,4)解析令g(x)=f(x)-4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x24,所以g(x1)-g(x2)x1-x20,即g(x)在(0,+)内单调递增,故g(x)=x+ax-40在(0,+)内恒成立,即a4x-x2,令h(x)=4x-x2,x(0,+).则h(x)=4x-x2h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为4,+).故选A.答案A5.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)-f(1)0时,在2f(x)+xf(x)2
4、两边同时乘以x得,2xf(x)+x2f(x)-2x0,设g(x)=x2f(x)-x2,则g(x)=2xf(x)+x2f(x)-2x0恒成立,所以g(x)在(0,+)内单调递减.由x2f(x)-f(1)x2-1得x2f(x)-x2f(1)-1,即g(x)1.当x0时,函数g(x)是偶函数,同理可得x0,即函数在R上单调递增,不符合题意;当a0,得-13ax-13a,由f(x)0,得x-13a,这时函数恰有三个单调区间,故a的取值范围是(-,0).法二:函数f(x)恰有三个单调区间,f(x)=3ax2+1=0有两个不同实数解.=-43a0,得a0.答案(-,0)8.已知f(x),g(x)分别是定义
5、在R上的奇函数和偶函数,且当x0,g(-4)=0,则不等式f(x)g(x)0得h(x)0,因此函数h(x)在(-,0)内是增函数.又因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以h(x)是一个奇函数,故h(x)在(0,+)上也是增函数,且h(4)=-h(-4)=0,所以当x-4或0x4时h(x)0,即不等式f(x)g(x)0时,令3x2-a=0得x=3a3,当x3a3或x0,当-3a3x3a3时,f(x)0时,f(x)的单调递增区间为-,-3a3,3a3,+,单调递减区间为-3a3,3a3.(2)因为f(x)在(-,+)上是增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0,即实数a的取值范围为(-,0.
