1、学科：奥数教学内容：函数通性训练题【能力训练】A级选择题1若a0，a1，F(x)是一奇函数，则是 （ ）（A）奇函数（B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）奇偶性与a有关2设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x2，3 时，f(x)=x，则当x-2，0时，f(x)的解析式是（ ）（A）f(x)=x+4(B)f(x)=2-x（C）f(x)=3-|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|3设f(x)，g(x)是定义在（-，+）上的两个函数，对任意实数x，y满足f(xy)+(xy)=2f(x)g(x),若f(0)=0，但f(x)不恒等于0，则（A）f(x)，g(x)都是奇函
2、数（B）f(x)，g(x)都是偶函数（C）f(x)是偶函数，g(x)是奇函数（D）f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。4奇函数y=f(x)有反函数，函数在0，+上是减函数，则上是 （ ）（A）是增函数（B）是减函数（C）有时是增函数，有时是减函数（D）有时是增函数，有时是减函数，有时是常数函数。5函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象间的关系是 （ ）（A）关于y轴对称 （B）关于x轴对称 （C）关于直线x=2a对称（D）关于直线x=a对称填空题6函数f(x)对一切实数x都满足，并且方程f(x)=0有三个实根，这三个实根的和是_.7设奇函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，且对
3、任意，都有当x0时，f(x)是增函数，则函数在这间-3，-2上的最大值是_.8定义域是实数域的奇函数f(x)，对任意实数x都有f(x)=f(x+2)则f(2)+f(4)+f(6)+f(1992)+f(1994)=_。9设函数f(x)的定义域为(0，+)，且单调递增，满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)（1）证明：f(1)=0 f(1)=0。（2）求f(4)。（3）若f(x)+f(x-3)2，求x的范围。（4）举出一个符合上述要求的函数f(x)。B级10设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在-30，30上
4、至少有13个零点，且f(x)是以10为周期的函数。11函数的最小正周期分别为2和2。证明f(x)=sinx+sinx不是周期函数。12证明：若函数y=f(x)在R上的图解关于点和直线x=b(ba)皆对称，则f(x)为周期函数。13设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何xR均有|f(x)|1，以及证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何xR，成立f(x+C)=f(x).参考答案【能力训练】A级1B。，故G(x)是偶数。2C。当x2，1时，x+42，3.f(x)=f(x+22)=f(x+4)；当x3，2时，由于f(x)为偶函数f(x)=x，当x1，0时，f(x)f(x2)=
5、(x2)= x23D。令x=0，f(y)=f（y）；又将y代换成y，f(xy)+f(x+y)=2f(x)g(y),g(y)=g(y)4A。如果一个函数存在反函数，那么它们的单调状况相同。5D。设图 象上任意一点，则6y=f(x)的图象关于对称，其中一根必是，另两根之和是。故所有实根之和是1.5。7令由f(x)为奇函数，且在(0,+)上为增函数，故在（，0）上也为增函数，且f(2)=f(1+1)=2f(1)=4，用定义易知，上为增函数。故-3，-2上的最大值是8f(x)为R上的奇函数，f(0)=0,且f(0)=f(2)=f(4)=f(1994)=0，故原式为0。9（1）取x=1，y=2，得f(2
6、)=f(12)=f(1)+f(2).f(1)=0（2）f(4)=f(2)+f(2)=2.（3）f(x)+f(x+3)=fx(x-3)2=f(4)，所以（4）可取.B级10f(x)关于x=2和x=7对称。f(4)f(2+2)f(22)f(0)0,f(10)f(7+3)f(73)f(4)0，于是（0，10上至少有两个零点。f(x10)f(73x)f(73x)f(4x)f(22x)f(22x)f(x)，f(x)以10为周期。f(30)=f(30310)=f(0)=0综上，f(x)在30，30上至少有13个零点。11反证，若周期为T，则sin（xT）sin(xT)=sinxsinx存在使得将代入，于是对每个xR，由于，故，于是k=m，矛盾。12提示4（ba）是它的一个周期，由已知有 f(bx)=f(bx)，反复利用、，可证fx4(ba)=f(x)13同样，有由、即对所有N成立。又f(x)有界，故只有f(x+1)f(x)=0.f(x+1)=f(x),f(x)为周期函数。
