1、2021 年寒假作业-高二数学数学作业第 21 天一选择题（111 单项选择题 12 题为多项选择题）1 函数2lnxxyx的图象大致是()ABCD2已知函数()f xx，其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数，若函数()ee2xxg x的零点为0 x，则0()g f x（）A 1e2e B 2C1e2eD221e2e3函数2()2e1f xxxm ，函数2e()(0)g xxxx（其中e 为自然对数的底数，e2.718），若函数()()()h xf xg x有两个零点，则实数 m 取值范围为（）A2e2e1m B2e2e1m C2e2e1m D2e2e1m 4已知函数27ln,0()2,0
2、 xxx xf xxx，令函数()g x 3()2f xxa，若函数()g x 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是A 9(,e)16B(,0)C9(,0)(,e)16D9(,0),e165.若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为（）A.B.C.D.6.若函数 ln 在区间上单调递增，则实数 的取值范围是（）A.n B.nC.nD.n7.已知函数 ln，若存在 n使得 ，则 的取值范围是（）A.n B.nC.nD.n8.已知函数 ln，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是()A.，B.nC.nD.，9设函数2()lnf xxxx，2()g xxax，对任意的11,24x，存在22
3、,4x，使12()()1f xg x成立，则实数 a 的取值范围是（）2021 年寒假作业-高二数学A7(4ln 2,)2B9(,)2C211(ln 2,)48D(3,)10.关于 的方程 ln 在区间 上有三个不相等的实根，则实数 的取值范围是（）A.B.ln C.lnD.ln 11.函数 的零点个数为（）A.B.C.D.12.(多选）已知函数 ，cos t ，给出下列四个命题，其中是真命题的为（）A.若 ，使得 成立，则 B.若 R，使得 恒成立，则 tC.若 ，R，使得 恒成立，则 hD.若 ，使得 成立，则 二填空题13已知函数21ln(0)2()f xaxxa，若对任意两个不相等的正
4、实数1x，2x，1212()()2f xf xxx恒成立，则实数 a 的取值范围是_14已知函数22(0)()e1(0)xxx xf xx，若对x R，不等式()f xax成立，则 a 的取值范围是_15.已知点 P 为函数2122()f xxax与2()ln32(0)g xaxb a图象的公共点，若以 P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为_16.已知 m 为整数，若对任意 n，不等式ln 恒成立，则 m 的最大值为_.三解答题17.已知函数 ln（1）讨论 的单调性；（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围2021 年寒假作业-高二数学18.已知函数 ln .
5、（1）当 时，求证：；（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.19.已知函数2()()lnf xxax，aR（1）若ex 是()yf x的极值点，求实数 a 的值；（2）若函数2()4eyf x只有一个零点，求实数 a 的取值范围2021 年寒假作业-高二数学20.已知函数 cos.（1）求函数 的最小值；（2）若函数 在 n上有两个零点，且 ，求证：.1 B2 lnxxyx，0 x，且当0 x 时，lnyxx，1 lny xx，则函数lnyxx在区间10 e，上单调递减，在区间 1e，上单调递增，由函数图象的对称性可知应选 B.2 B【解析】由题可得e0()exxg x在R 上恒成
6、立，所以函数()g x 在R 上单调递增，又00(0)ee220g ，11(1)ee20g，所以存在0(0,1)x，使得0()0g x，所以00()0f xx，所以0()(0)2g f xg 故选 B3C【解析】令()0h x，可得22e1 2e1(0)mxxxx，令22e()1 2e1(0)s xxxxx，则222ee()21 2e(e)(2)xs xxxxx，所以当ex 时，()0s x，2()(2ee1,)s x ，当0ex时，()0s x，2()(2ee1,)s x ，因此当2e2e1m 时，函数()()()h xf xg x有两个零点，故选 C4C【解析】令22ln,03()()32
7、,02xxx xF xf xxxx x，数学作业第 21 天答案2021 寒假作业答案-高二数学当0 x 时，函数()2(ln1)1 lnF xxx，由()0F x，可得1 ln0 x，即ln1x ，解得0ex，由()0F x，可得1 ln0 x，即ln1x ，解得ex，当 x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当ex 时，函数()F x 取得极大值为(e)2eeln e2eeeF，当0 x 时，22339()2416()xF xxx ，是二次函数，在对称轴处取得最大值为 916，作出函数()F x 的大致图象如下图所示，要使()F xa（a 为常数）有两个不相等的实根，只需0a
8、或 9e16a，所以实数 a 的取值范围是9(,0)(,e)16故选 C5.A【详解】由 在 上单调递减，可得：导函数 在 R 上恒成立，因为 粘，参变分离可得：min，2021 寒假作业答案-高二数学故选：A6.C【详解】耀 ln ，由题意知 在上恒成立，即 耀 ln 在上恒成立，令 ln，则 ln，当 时，粘，单调递增；当 时，单调递减，所以 max ，故 耀 .故选 C7.C【详解】存在 使得 粘，粘 ln 即 粘ln在 有解，令 ln 粘 ，则 lnln，当 时，ln ，则 ，函数 单调递减；当 时，ln 粘，则 粘，函数 单调递增；当 时，粘.故选：C.8.C【详解】ln ln，.存
9、在 ，使得 粘，即存在 ，使得粘，即不等式 粘 在 上有解，不等式 在 上有解.令 ，且不恒为 0，在 上单调递增，2021 寒假作业答案-高二数学 max ，.故选：.9 B【解析】因为对任意的11,24x，存在22,4x，使12()()1f xg x 成立，即12()()1f xg x，所以maxmax()()1f xg x 当2,4x时，函数()g x 在2,4为增函数，则max29()442g xaa，又()12 lnfxxxx ，设()12 lnh xxxx，1,24x，则()2ln3h xx ，又()h x 在 1,24上单调递减，所以11()()2ln34ln 23044h xh
10、，所以()fx在 1,24上单调递减，由于(1)0f，所以()f x 在 1,1)4上单调递增，(1,2上单调递减，所以max()(1)1f xf，所以9112a，所以92a ，所以实数 a 的取值范围是9(,)2 故选 B10.D【详解】令 ln，显然在 函数没有三个公共点，故 ln ln，令 ，所以 ，故切点为 ，代入 ln 得 ，当 时，ln ln，所以函数过点 ln，ln ln，2021 寒假作业答案-高二数学如图所示：所以实数 的取值范围是范围为ln .故选：D11.D【详解】函数 的定义域为，.令 .令 ln，ln 时，；粘 ln 时，粘；在 ln 上单调递减，在 ln 上单调递增
11、，即 在 ln 上单调递减，在 ln 上单调递增，且 min ln ln ln ln ln .有两个实数根，设为，且 ln .时，粘；时，；粘 时，粘，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.又 粘 粘，在 上各有一个零点，有 3 个零点.故选：.12.【答案】ACD【详解】对选项 A，只需 在 上的最小值小于，在 上单调递增，所以 min ，所以 粘，故正确；对选项 B，只需 的最小值大于，因为 cos ，所以 min 粘，所以 ，故错误；对选项 C，只需 在 上的最小值大于 的最大值，min ，max ，即 粘 ，粘，故正确；对选项 D，只需 min min，max max，202
12、1 寒假作业答案-高二数学max ，所以 ，时，所以 在 上单调递减，min ，max ，所以 ，由题意，故正确.故选：ACD.二填空题13【答案】1,)【解析】因为对任意两个不相等的正实数1x，2x，1212()()2f xf xxx恒成立，所以2()f x 恒成立，因为)2(aafxxx，所以 22a，即1a 故实数a 的取值范围是1,)14【答案】2,1【解析】当0 x 时，由2()2f xxxax，可得2(2)0 xa x，解得2xa，即2ax，所以2a ；当0 x 时，()e1xf x ，()exfx，0(0)e1f ，所以过点(0,0)的切线方程为 yx，由()f xax，可得1a
13、 ，所以 21a ，所以 a 的取值范围是 2,1故答案为 2,115.【答案】233 e42021 寒假作业答案-高二数学【解析】由题可得2()xfxa，2()3ag xx，设00(),P xy，因为以 P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，所以00()()f xg x，00()()fxg x，即2200012322lnxaxaxb，20032axax，由20032axax可得0 xa（负值舍去），则22222l152233ln22nbaaaaaaa，令2253()ln(0)2h tttt t，则()(2 1 3)lnh ttt，于是当 2 1 3l0()ntt，即130et 时，0()h
14、t；当 2 1 3l0()ntt，即13et 时，0()h t，所以()h t 在13(0,e)上为增函数，在13(e,)上为减函数，于是()h t 在(0,)上的最大值为1233()3ee2h，所以b 的最大值为233 e4故答案为233 e416.【答案】1【详解】解：令 ln，则 ln，令 ln ，则 ，所以 在 上单调递减，又 粘，故存在 使得 ln ，当 时，粘，即 粘，单调递增，当 时，即 ，单调递减，2021 寒假作业答案-高二数学 max ln ，故，则 ，即 m 的最大值为 1.故答案为：1三解答题17.【详解】（1）由已知，粘，ln，令 得：，当 时，在（，）上单调递减；当
15、 粘 时，粘 在（，）上单调递增综上，的单调减区间为（，），单调增区间为（，）（2）恒成立，即ln 恒成立，等价于 ln 恒成立令 ln，则 ln 令 ln 则 粘 在（，）上恒成立 ln 在（，）上单调递增，时，在（，）上单调递减；粘 时，粘，在（，）上单调递增 min min 综上可得，的取值范围是（，18.【详解】（1）当 时，ln .所以 ln ln .2021 寒假作业答案-高二数学设 ln ，则 ，所以 在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 .（2）因为 ln ，所以 ln ln，在 上，当，若 ，则 粘，若 ，则 ，所以 在 上单调递增，在上单调递减，所以由题意得 ，解得
16、，所以.当 时，若 ，则 ，若 ，则 粘，所以 在 上单调递减，在上单调递增，所以，所以由题意得，解得，所以.当 时，（i）当 时，若 ，则 粘，若 ，则 ，若 ，则 粘，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以由题意得，所以 所以 ；2021 寒假作业答案-高二数学（ii）当 时，在 上 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 粘，所以 满足题意；（iii）当 时，易得函数 在 ，上单调递增，在 上单调递减，所以由题意得 所以 所以 .综上，实数 的取值范围为.19.【答案】（1）ea 或3e；（2）(,3e)【解析】（1）由题可得2()()2()ln()(2ln1)xaa
17、fxxaxxaxxx，由ex 是()f x 的极值点，所以(e)0f，解得ea 或3ea 经检验，ea 或3ea 符合题意，所以ea 或3ea；（2）由已知得方程2()4ef x 只有一个根，即曲线()f x 与直线24ey 只有一个公共点易知()(,)f x ，设()2ln1ah xxx，当0a 时，易知函数()f x 在(0,)上是单调递增的，满足题意；当01a 时，易知()h x 是单调递增的，又()2ln0h aa，(1)10ha，00(,1),()0 xah x，当0 xa时，()()(2ln10afxxaxx），()f x 在(0,)a 上是单调递增，同理()f x 在0(,)a
18、x上单调递减，在0(),x 上单调递增，2021 寒假作业答案-高二数学又极大值()0f a，所以曲线()f x 满足题意；当1a 时，(1)10,()2ln0hah aa，00(1,),()0 xa h x，即0002lnaxxx，可得()f x 在0(0,)x上单调递增，在0(),x a 上单调递减，在(,)a 上单调递增又()0f a，若要函数()f x 满足题意，只需20)(4ef x，即2200(ln4exax）23200lnexx，由01x ，知23()ln0g xxx，且在1,)上单调递增，由2(e)eg，得01ex，因为002lnaxxx在1,)上单调递增，所以13ea；综上可知，实数a 的取值范围为(,3e)20.解：（1）由于函数 cos 为偶函数，要求函数 的最小值，只需求 时 的最小值即可.因为 sin,所以，当 时，设 sin cos，显然单调递增，而 粘，由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 ，当 单减，当 粘 单增，2021 寒假作业答案-高二数学而 ，即 ，单减，又当 ，粘 粘 sin，粘，单增，所以 min ；（2）只需证，其中 ，构造函数 ，sin 粘，即 单增，所以，即当 时，而 ，所以 ，又 ，即 ，此时 ，由第（1）问可知，在 上单增，所以，即证.
