1、课时作业(六)平面向量1已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析:由题意得ab(2,2m),由a(ab),得1(2m)22,解得m6,则m6时,a(1,2),ab(2,4),所以a(ab),则“m6”是“a(ab)”的充要条件,故选A.答案:A2在梯形ABCD中,ADBC,已知AD4,BC6,若mn(m,nR),则()A3 BC. D3解析:过点A作AECD,交BC于点E,则BE2,CE4,所以mn,所以3.答案:A3(2017湖南湘中名校联考)已知向量a(x,),b(x,),若(2ab)b,
2、则|a|()A1 B.C. D2解析:因为(2ab)b,所以(2ab)b0,即(3x,)(x,)3x230,解得x1,所以a(1,),|a|2,故选D.答案:D4(2017安徽省两校阶段性测试)已知向量a(m,1),b(m,1),且|ab|ab|,则|a|()A1 B.C. D4解析:a(m,1),b(m,1),ab(2m,0),ab(0,2),又|ab|ab|,|2m|2,m1,|a|.故选C.答案:C5已知A(1,cos),B(sin,1),若|(O为坐标原点),则锐角()A. B.C. D.解析:法一是以OA,OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量,是对角线向量,由已知可得,对角线相
3、等,则平行四边形OADB为矩形故OAOB.因此0,所以sincos0,所以锐角.法二(sin1,cos1),(sin1,cos1),由|可得(sin1)2(cos1)22(cos1)2,整理得sincos,于是锐角.答案:C6在ABC中,ABAC3,BAC30,CD是边AB上的高,则()A B.C. D解析:依题意得|,0,()|cos603,故选B.答案:B7(2017成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a,b的夹角为,则|a|1,|b|,则a2b与b的夹角是()A. B.C. D.解析:法一因为|a2b|2|a|24|b|24ab1141cos3,所以|a2b|,又(a2b)bab2|b|
4、21cos2,所以cosa2b,b,所以a2b与b的夹角为.故选A.法二设a(1,0),b,则(a2b)b,|a2b|,所以cosa2b,b,所以a2b与b的夹角为,故选A.答案:A8(2017惠州市第三次调研考试)若O为ABC所在平面内任一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析:()(2)0,即()0,()()0,即|,ABC是等腰三角形,故选A.答案:A9(2017湖南省五市十校联考)ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB2a,2ab,则向量a,b的夹角为()A30 B60C120 D150解析:设向量a,b的夹角为
5、,2ab2ab,|b|2,|2|a|2,|a|1,2(2ab)24a24abb288cos4,cos,120.答案:C10称d(a,b)|ab|为两个向量a,b间的“距离”若向量a,b满足:|b|1;ab;对任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b),则()Aab Bb(ab)Ca(ab) D(ab)(ab)解析:由于d(a,b)|ab|,因此对任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b),即|atb|ab|,即(atb)2(ab)2,t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立,因此有(2ab)24(2ab1)0,即(ab1)20,得ab10,故abb2b(ab)0,故b(ab)答案:B11(
6、2017宝鸡市质量检测(一)在等腰直角ABC中,ABC90,ABBC2,M,N(不与A,C重合)为AC边上的两个动点,且满足|,则的取值范围为()A. B.C. D.解析:以等腰直角三角形的直角边BC为x轴,BA为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则B(0,0),直线AC的方程为xy2.设M(a,2a),则0a1,N(a1,1a),(a,2a),(a1,1a),a(a1)(2a)(1a)2a22a2,0a1,当a时,取得最小值,又2,故的取值范围为.答案:C12(2017全国卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则的最大值为()A3 B2C. D2解析:
7、建立如图所示的直角坐标系,则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E,连接CE,则CEBD. CD1,BC2, BD,EC,即圆C的半径为, P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0,y0),则(为参数),而(x0,y0),(0,1),(2,0) (0,1)(2,0)(2,), x01cos ,y01sin .两式相加,得1sin 1cos 2sin()3,当且仅当2k,kZ时,取得最大值3.故选A.答案:A13(2017广州市综合测试(一)已知|a|1,|b|,且a(ab),则向量a与向量b的夹角是_解析:因为a(ab),所以a2ab0,又|a|1,所以ab1,设向量a与向量b的夹角
8、为,由cos,可得,即向量a与b的夹角为.答案:14在AOB中,G为AOB的重心,且AOB60,若6,则|的最小值是_解析:如图,在AOB中,()(),又|cos606,|12,|2()2(|2|22)(|2|212)2(|12)364(当且仅当|时取等号)|2,故|的最小值是2.答案:215(2017石家庄市教学质量检测(一)已知与的夹角为90,|2,|1,(,R),且0,则的值为_解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以(0,2),(1,0),(1,2)设M(x,y),则(x,y),所以(x,y)(1,2)x2y0,所以x2y,又,即(
9、x,y)(0,2)(1,0)(,2),所以x,y2,所以.答案:16.(2017江苏卷)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan 7,与的夹角为45.若mn(m,nR),则mn_.解析:法一:因为tan 7,所以cos ,sin .过点C作CDOB交OA的延长线于点D,则,OCD45.又因为mn,所以m,n,所以|m,|n.在COD中,由正弦定理得,因为sinODCsin(180OCD)sin(OCD),即,所以n,m,所以mn3.法二:由tan 7可得cos ,sin ,则,由cosBOC可得,cosAOBcos(45)cos cos 45sin sin 45,则,则mn,mn1,则mn,则mn3.答案:3